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《利用傅里叶级数进行数列求和的方法文献综述.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、文献综述利用傅里叶级数进行数列求和的方法一.前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点、)数列是数学屮很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题吋提出的。有了傅里叶级数，就可以在这个
2、方向上对一•类数列求和进行探讨。傅里叶级数，即Fourierseries,定义作：如果一个给定的非正弦周期函数/(f)满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。设/是以2/为周期的函数，通过变量置换罕二f或x=~可以把/变换成以I71(2兀为周期的/的函数F(Z)=f-o若7在[-/,/]±可积,则F在卜心上也可I兀丿积，这吋函数F的傅里叶级数展开式是：S(1)(2)+工(匕cosnt+hnsin,n=其屮an=—F(f)cosmdf屮=0,12…,IpTbn=—F(t)sinntdt.n=1,2,....因为2空，所以F(r)=/f-k/(x)o于是由(1)和(2
3、)式分别15丿m)~H7TXf・+仇sina=-i/(x)cos巴亠s=0,1,2,…，11(4)bn=-£/(x)sin^^dr,M=1,2,....II这里(4)式是以2/为周期的函数/的傅里叶系数，(3)式是/的傅里叶系数。傅里叶级数收敛定理：若以2兀为周期的函数/在［-九刃上按段光滑，则在每一点xe［-^,7r］,/在傅里叶级数/3~牛+£(色心处+方脚处)收敛丁J2n=l在点兀的左、右极限的算数平均值，即=牛+£(%cos处+22n=lbnsinnx),其中a“，“为f的傅里叶系数。同理，若/在［-口］丄按段光滑，则同样可由以上收敛定理得/(x+O)；_/(x
4、_0=号+£»cos竽+b”sin罕］•(5)an=
5、£/(x)cos^-dx=
6、ji/(x)cos罕"x，川=0,1,2,…,化41/3si"若/是以2/为周期的偶函数，或是定义在H，/］±的偶函数，则在［-以］上，/(x)cosnx是偶函数，/(x)sinni-是奇函数。因此，/的傅里叶系数⑷是(6)于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即禺总n7rX(7)/(X)〜寸+2＞小〒，Ln=l1其屮％如(6)式所示。(7)式右边的级数称为余弦级数。同理，若/是以2/为周期的奇函数，或是定义在［-口］上的奇函数，则可推=y£/(X)COStl7TXfc八(rax=()/=
7、()丄2,…,(8)sin所以当/为奇函数吋，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即(9)/©)〜工仇sin罕,//=lI其屮仇如（8）式所示。（9）式右边的级数称为正弦级数。本文结合傅里叶级数的背景、傅里叶级数求法及其应用，利用傅里叶级数进行数列求和的方法进行梳理、归纳，并举例进行说明。二.主题部分（阐明有关主题的历英背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述）（-）历史背景傅里叶级数是一种特殊的三角级数。由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极人地推动了偏微分方程理论的发展。在屮国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首
8、先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程小都具有重要的应用。傅里叶级数对Z后很多的研究都有深远的影响。（-）现状和发展方向傅里叶级数作为数学分析屮的一个重要组成部分，H前己经有了丰富的研究成果。成果屮包括函数的傅里叶级数展开及其计算方面，例如有：刘杰民和刘金堂给出了多种函数的傅里叶级数的展开形式并给出一些算例加以说明叫魏全顺曾研究过函数的傅里叶级数的系统展开法，并充分讨论了其情况叫何国柱讨论过傅里叶级数展开式按正弦、余弦组合后再相加写法的合理性，并给出过
9、该写法的一个充分条件花谭宏武和李莉在傅里叶级数展开的简便算法屮提出过利用分布积分公式可以达到此H的，并给予例子加以证明⑸；成青松在函数展开成傅里叶级数的计算屮，研究并提出过利用函数的对称屮心可以得到一•类函数的傅里叶系数计算的相关结论，同时给出例子來说明该结论叫还有，田长安和王永忠提出过同一函数可以展成多种不同形式的傅里叶级数，并给出同一函数的两种不同形式的傅里叶展开式且证明了这两种形式的同一性㈢。傅里叶系数是傅里叶级数的重要部分，在这一方面，章联生曾指出过现行所学教材小推导傅里叶系数公式的三种方法，并分别对其点评，他在这个基础上，从逼近
