利用傅里叶级数进行数列求和的方法文献综述

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1、文献综述利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在

2、研究偏微分方程的边值问题时提出的。有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。傅里叶级数，即Fourierseries，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。设是以为周期的函数，通过变量置换或可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是：，（1）其中（2）因为，所以。于是由（1）和（2）式分别（3）与（4）这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（3）式是的傅里叶系数。傅里叶级数收敛定理：若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一

3、点，在傅里叶级数收敛于在点的左、右极限的算数平均值，即，其中，为的傅里叶系数。同理，若在上按段光滑，则同样可由以上收敛定理得.（5）若是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数（4）是（6）于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即，（7）其中如（6）式所示。（7）式右边的级数称为余弦级数。同理，若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得（8）所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即，（9）其中如（8）式所示。（9）式右边的级数称为正弦级数。[1]本文结合傅

4、里叶级数的背景、傅里叶级数求法及其应用，利用傅里叶级数进行数列求和的方法进行梳理、归纳，并举例进行说明。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景傅里叶级数是一种特殊的三角级数。由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发

5、展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。傅里叶级数对之后很多的研究都有深远的影响。（二）现状和发展方向傅里叶级数作为数学分析中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果。成果中包括函数的傅里叶级数展开及其计算方面，例如有：刘杰民和刘金堂给出了多种函数的傅里叶级数的展开形式并给出一些算例加以说明[2]；魏全顺曾研究过函数的傅里叶级数的系统展开法，并充分讨论了其情况[3]；何国柱讨论过傅里叶级数展开式按正弦、余弦组合后再相加写法的合理性，并给出过该写法的一个充分条件[4]；谭宏武和李莉在傅里叶级数展开的简便算法中提出过利

6、用分布积分公式可以达到此目的，并给予例子加以证明[5]；成青松在函数展开成傅里叶级数的计算中，研究并提出过利用函数的对称中心可以得到一类函数的傅里叶系数计算的相关结论，同时给出例子来说明该结论[6]；还有，田长安和王永忠提出过同一函数可以展成多种不同形式的傅里叶级数，并给出同一函数的两种不同形式的傅里叶展开式且证明了这两种形式的同一性[7]。傅里叶系数是傅里叶级数的重要部分，在这一方面，章联生曾指出过现行所学教材中推导傅里叶系数公式的三种方法，并分别对其点评，他在这个基础上，从逼近论的角度出发，应用多元函数极值的相关知识，

7、又提出了傅里叶系数公式的另一种推导方法，以克服教材在这个问题上出现的不足和缺陷[8]。此外，成果还包括傅里叶级数的收敛性方面：孟凡友研究过傅里叶级数涉及的收敛定理，重点讨论了其中的两个定理[9]；高义和高建国也曾总结过判定傅里叶级数收敛性的Dini判别法和Jordan判别法，并通过列举实例说明着两种方法是相互不包含的[10]；何倩和项雪艳则重点研究了三角函数部分和在不同度量下的收敛速度，通过级数计算和不等式的收放技巧得到度量下的最佳逼近度以及度量下的逼近速度上下界[11]。在众多成果中，傅里叶级数求和是很重要的部分：王淑云

8、、何甲兴分别与杨明和宋东哲研究过傅里叶级数求和的方法，前者重点提出过求和因子法求和，即在其线性求和中通过构造求和因子，使得带有该求和因子的积分算子在全轴上一致收敛到每个以为周期的连续函数，并对函数类的逼近均达到最佳收敛阶，其中参数为任意给定的奇自然数[12]；后者则是通过Dirichlet积分算子构造一