论级数求和的解题策略文献综述

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1、文献综述论级数求和的解题策略一.前言部分级数理论是数学研究的重要对象，它不但在H常的生产、生活中都有广泛的应用，而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一，也是鮫难解决的问题，因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外，一般级数都难以求出它的部分和，所以级数求和的方法比较灵活，技巧性也比较强，因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。因此许多学者通过理解、构造、举例等，从多方面、各角度对级数求和的解题策略和方法作出了大胆的研究和探索，为具体问题求解创造了更有效的应用

2、价值，也为级数求和问题的进一步发展作出了新的贡献。经过大量参考文献的阅读，我们发现许多研究者还在各类论文、期刊、书籍屮进一步介绍了如何利用收敛定义、幕级数、傅里叶级数、解微分方、一些有趣的公式、概率组合与组合数公式的性质及借助匚知级数的和并利用收敛级数的运算等基本性质來求数项级数的和。在对主题进行探讨研究询，作为铺垫，下而首先了解一下其中基础的概念知识⑴：定义1：若数项级数£冷的部分数列｛S”｝收敛于S(即limS/?=S),n=l0088则称数项级数为冷收敛，称S为数项级数工知的和(即=s)n==l“=1定义2：有

3、幕级数列｛色(x-x0)z，｝所产生的函数项级数称为幕级数定义3:若函数/在点观的某领域内存在直至A2+1阶的连续导数，则/（x）=/（%）+广（x（））（x一x0）+'（兀-x（））~+…+~~（x一x（））"+Rn（x）2!n!称为函数/在点兀（）的泰勒公式。若/在x=x0处存在任意阶导数，则这吋称形式为于（兀。）+广（兀。）（兀70）+/］：。）（兀_勺）2+•••+~（X-Xoy+•••2!n!的级数为函数f在点x0的泰勒级数。定义4：如果函数/在点心的某领域上等于其泰勒级数的和两数,则称函数/在点心的这一领域内

4、可以展开成泰勒级数，并称等式/（x）=/（x0）+/,（x0）（x-x0）+^^°x-x0）2+^X°x-x0），，+••-的右边为/在兀二X。处的泰勒展开式或称幕级数展开式。a定义5：若整个数轴上/(x)=—4-(6/ncosnx+bnsinnx)©2”=iR等式右边级数一致收敛，则冇如下关系式：a=—ff（x）cosnxdx,仇=丄（f（x}sinnxdx,n=0,1,2,••-它们称为函数/（关于三角函数系）的傅里叶系数，以/的傅里叶系数为系数的三角级数①称为/（关于三角函数系）的傅里叶级数。一.主题部分无穷级

5、数是最简单的无穷表达式，最早的无穷级数涉及哲学和逻辑的悖论，并没有推及一般的无穷级数；其次无穷级数往往同微积分在一起叙述，而这时期无穷级数只是近似计算的工具。现有的文献对无穷级数某些方而的发展做了深入研究，L.Feigcnbaum121曾详细研究了泰勒定理的产生过程；GiovanniFerraro[31从欧拉对插值问题研究的角度分析了欧拉——麦克劳林求和公式的推导；P.Dugac（，1从总结魏尔斯特拉斯的研究工作中分析了级数的一致收敛性。1、级数的早期工作无穷级数很早就在希腊数学中出现过，虽然希腊人惧怕无穷，试图用有限和

6、来代替无穷1111和，但是这只是潜无穷与实无穷的差别。芝诺的二分法涉及到把1分解成无穷级数+..・。亚里士多德也认为这种公比小于1的几何级数有和。阿基米德在他的《抛物线图形求积法》—•书中，在求抛物线弓形而积的方法中使用了儿何级数，并11求出了它的和。中国古代的《庄子•天下》中的“一尺z極，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出來也是无穷级数⑸。到了屮世纪，无穷级数这个课题曾使那时的哲学家与数学家着迷，既引起了他们对“无穷”的兴趣，乂促使他们就一些明显的悖论进行激烈的争论。例如，修塞特解决了这样一个问题，它

7、可以借助于运用叙述如下⑹：如杲一个点在某段时间的前一刻以不变的初始速度运动，在接下来四分z—的时间中以二倍的初始速度运动,在随后的八分z—时间中以三倍的初始速度运动……这样无限的继续下去，那么这个点在整个这段时间的平均速度等于初始速度的二倍。把这段时间的长度和初始速度都取为一个单位，则上述问题等价于级数求和-+-+-+—+...=2248T在这个方面授杰出的代表人物就是奥雷姆，他冇许多天才的思想，尤其是无穷的思想。他明确几何级数冇两种可能性，当公比人于等于1时，无穷几何级数有无穷和；当公比小于等于1时有有限和。在《欧儿里

8、得儿何问题》屮，他以严格的方式证明当无穷级数项的值不是按比例减少时，其和也可以是无穷，并且在书中以调和级数作为例子來探讨力。无穷级数的研究在十五、十六世纪以休塞特和奥雷姆的方式继续前进，但由于仅限于文字叙述和几何方法，所以没冇取得重大进步。这些无穷级数早期研究的主要贡献并不在于所得到的具体结果，而在于促使人们接受一种