【数学与应用数学专业】【毕业论文】无穷级数的应用

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1、（20__届）本科毕业论文无穷级数的应用摘要：无穷级数是一个具有悠久历史的数学概念，实际上其思想的起源早于公元前，级数的分类大致包括正项级数、交错级数、函数项级数，级数的主要性质是级数的敛散性。比起无穷级数本身的研究，更重要的是级数无穷分割求和思想的利用。本文在重新学习无穷级数内容的基础上研究其在积分计算和级数求和方面的应用并尝试解决用无穷级数逼近连续函数和用无穷级数构造处处连续但处处不可导函数的问题，最后对全文进行归纳总结。关键词：无穷级数；计算；逼近；构造InfiniteSeries`sApplicationAbstract:TheInfiniteseriesisamathconc

2、eptswithlonghistory.InfactitsthinkingoriginatedinBC.SeriesclassificationincluderoughlyPositiveseries，Staggeredseries，Functionofseries.Themainpropertiesoftheseriesisthedivergencefeatureofseries.Itismuchmoreimportanttotakeadvantageofitsinfinitelydivisiblesummationthanresearchit.Thisarticlediscussi

3、tsapplicationsintheIntegralcalculationandthesumofseries,trytosolvetheapproximationofcontinuousfunctionsbyinfiniteseriesandstructureeverywherecontinuousbutnotdifferentiableeverywherefunctionwithinfiniteseries.Keywords:infiniteseries;consideration;approximation;Construction目录1无穷级数的背景和内容……………………………

4、…………………………………………………11.1级数的起源与简介………………………………………………………………………………11.2级数的主要内容…………………………………………………………………………………12无穷级数在积分计算和级数求和方面的应用………………………………………………………72.1无穷级数在积分计算中的应用…………………………………………………………………72.2无穷级数在级数求和中的应用…………………………………………………………………83用无穷级数逼近连续函数……………………………………………………………………………133.1连续函数的幂级数逼近…………………………

5、……………………………………………133.2连续函数的傅里叶级数逼近…………………………………………………………………144用无穷级数构造处处连续且处处不可导的函数……………………………………………………16结束语……………………………………………………………………………………………………17致谢………………………………………………………………………………………………………18参考文献…………………………………………………………………………………………………191无穷级数的背景和内容1.1级数的起源与简介无穷级数及其思想的起源可以追溯到公元以前,早在古希腊学者芝诺的二分法就涉及到把分解

6、成无穷级数，古代中国的“一尺之棰，日取其半”也含有与二分法相类似的思想，但是级数最早被正式研究是在中世纪(14至16世纪)的印度咯拉拉学校，该校的学者马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)首先发现并着手研究无穷级数，之后由造访印度的欧洲传教士传播到了欧洲,之后和牛顿的微分紧密地结合在了一起，构成数学分析的两大支柱。无穷级数作为一个拥有悠久历史的数学思想，对它本身的研究并不是十分多，这是因为它仅仅是从数列中引申出来的一个概念，并不是一个全新的东西，比它本身更重要的是这一种数学思想“分割，近似求和，取极限”的应用，这种思想是数学史上的一种创新，因为难度不大，应用广，

7、因此无穷级数的性质仅仅在讨论敛散性之后就少有讨论，主要研究方向放在了这种思想方法的应用上，比如之后出现的函数项级数，函数项级数中又出现了一致收敛性，接着出现了特殊的函数项级数:幂级数。幂级数的出现为级数的应用又打开了一扇新的大门，从函数项级数到幂级数的研究，使得函数这一复杂的数学形式得以在幂级数的形态下加以研究，这得益于函数的幂级数展开，在这基础之上，特殊坐标系下的函数也得以解放出来，比如三角坐标系中三角函数级数又称傅里叶级数，之后又引申到周期