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1、浅谈无穷级数的求和Investigateofthesummationofinfiniteseries专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了运用裂项相消,错位相减,逐项微分,逐项积分,运用特殊级数的和这几种方法求级数的和,并通过实例说明了这些方法的应用.关键词:级数;求和;幂级数;傅里叶级数IIAbstractInthispaper,wediscussthemethodsofthesummationsubstractionbypartitiontermsormisplace,differentiationtermbyterm,in
2、tegrationtermbytermandthesummationofthespecialseries.Someexamplesareillustratedtotheapplicationsofthesemethods.Keywords:series;summation;powerseries;FourierseriesII目录摘要IABSTRACTII0引言11裂项相消法12错位相减法23逐项微分法64逐项积分法85运用特殊级数的和求和法9参考文献130引言无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分.它是表示函数,研究函数性质以及进行数值计
3、算的一种重要工具.众所周知,收敛级数都有和,然而求出收敛级数的和常常是较困难的.因此,本文将讨论运用裂项相消,错位相减,逐项微分,逐项积分,运用特殊级数的和来求级数的和,并通过实例说明了这些方法的应用.为行文的简洁,本文中未特别申明的符号与文献[1]一致.1裂项相消法设,,则的部分和为.若,则.也就是说的和为.我们称上述求级数和的方法为裂项相消法.利用裂项相消法求级数的和,关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式,通常经过变形,有理化分子或分母,三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的.以下用具体例子来进行说明.例1求无穷级数的和.解因为,所
4、以,于是第13页,共13页.所以.如果一个级数的通项是一个三角函数式,则可考虑利用三角函数公式,将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例2求级数的和.解先考虑变换问题的数学形式,由,联想到正切的差角公式,再设,则原级数的部分和为所以.如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式,则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例3求和.解先对通项分母中的和式进行有理化,得,于是,有第13页,共13页,所以.2错位相减法设为等差数列,公差为,为等比数列,公比为,则称为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上,设,(1)两边同时乘以公比
5、得,即,(2)(5)式减去(6)式得,.我们这种求级数和的方法为错位相减法.例4求级数的和.解因为,(3)第13页,共13页,(4)(7)式减去(8)得,即,于是,所以,故.3逐项微分法定理若在上,的每一项都具有连续导数一致收敛于,又收敛于,则,即,且一致收敛于.这定理说明了和号同求导运算可以交换,它也称为逐项微分的定理.但要注意的是,仅仅在条件“一致收敛”之下,即使存在且连续,也不能保证和号同求导数号可以交换.例5求级数的和.解令,第13页,共13页在收敛域内逐项微分,得.注意到,所以,于是当时,有.例6求级数.解令,逐项求导得,所以.因为级数在处
6、收敛,所以,即.例7求级数的和函数.解,令,,第13页,共13页所以,,.例8求幂级数的和.解在上对逐项求导,可知,.由此可得.在这两端乘以,我们有,解得.4逐项积分法定理2设在上一致收敛于,并且每一都在上连续,则,亦即和号可以与积分号交换.又在上,函数项级数也一致收敛于第13页,共13页.该定理也称为逐项积分定理.例9求级数的和.解令,其收敛域为,在收敛域内逐项积分,得其中,于是.例10求下列级数的和(1);(2).解(1)在上对作逐项积分,可知(2)对,令,有由此知.第13页,共13页对,令,有,由此可得.5运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思
7、想是:将待求和的级数用一些已知级数来表示,通过代入已知级数求得待求级数的和.以下运用例子来说明该方法.例11求.解原式可以用级数表示如下.考虑级数,其收敛半径为1,故当时收敛,设其和函数为,下面在区间内求.由于,所以令,即得.第13页,共13页例12(1)求级数的和;(2)求级数的和.解(1)由于所以,故.(2)因为,所以,从而.例13求下列级数的和:(1);(2).解(1)由于,令,得的和,因此第13页,共13页.(2)由于当时,有,故令即得,于是有.例14求下列常数项级数之和:(1);(2);(3).解将在内展开为正弦级数有,,所以.(1)当时,
8、有.(2)当时,有.(3)当时,有.例15求的和.第13页,共13页解将函数.令,则.例16求和.解令,则.
