【数学与应用数学专业】【毕业论文】级数敛散性判定方法的研究

《【数学与应用数学专业】【毕业论文】级数敛散性判定方法的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、（　20　届）本科毕业论文级数敛散性判定方法的研究摘要：级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于数项级数的敛散性的判定较难.因此本文的重点是综述级数敛散性的判定方法，主要有Kummer判别法，奇偶项判别法，阶估计判别法等。关键词：级数；敛散性；判定法TheStudyontheJudgmentofConvergenceandDivergenceofSeriesAbstract:Seriesisusedforresearchingthefunctions’

2、properties,andisgoodfornumbercalculation,andseriesiswidelyusedinotherdisciplinesandourlife.Whereas,it’sdifficulttojudgetheconvergenceanddivergenceofseries,so,thisarticlefocusonthesummarizingthejudgmentsoftheconvergenceanddivergenceofseries.MainlyhastheKu

3、mmerJudgment,theParityJudgment,theOderEstimatesJudgment,andsoon.Keywords:Series;Convergence;Judgment目录1引言12级数的概念及相关性质13数项级数的敛散性判别法及其应用33.1P级数判别法33.2Kummer判别法53.3一类正项级数收敛判断的推广73.4奇偶项判别法83.5优拉高判别法113.6达朗贝尔、拉贝、对数、比值判别法的推广143.7阶估计判别法183.8一般项级数的敛散性判别法203.9数项级

4、数敛散性判别的一些技巧223.9.1利用不等式法223.9.2利用泰勒展式法223.9.3拆项法234函数项级数的敛散性判别法23致谢25参考文献261引言级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于级数的敛散性的判定较难.因此本文重点对数项级数的敛散性进行讨论.人们很早以前其实就已经接触到无穷级数了.在中国古代的《庄子••天下》中所说的“庄子切棒”问题：“一尺之锤，日取一半，万世不竭”中所含有的极限思想，用数学形式表达出来就是无穷级数.虽然在古希腊的数学

5、中出现了无穷级数，但是由于希腊人惧怕无穷，因此总是用有限和代替无穷和，近代数学正是在突破这种禁忌的基础上发展起来的.芝诺(ZenoofElea)的二分法涉及了把1分解成无穷级数的形式.亚里士多德(Aristotle)也认为这种无穷级数的和存在，因为这是公比小于1的几何级数.阿基米德(Archimedes)在他的《抛物线图形求积法》一书中，用几何级数求出了抛物线的弓形面积.在十五、十六世纪，对无穷级数的研究以休赛特和奥雷姆的方式进行，即认为几何级数有两种可能性，当公比大于1时，无穷几何级数的和是无穷；当公

6、比小于1时，无穷级数的和是有限的.但是由于局限于文字叙述和几何方法，因此没取得重大进展.尽管如此，中世纪的这种承认无限的思潮仍旧为十七世纪关于无穷级数与无限过程的重要工作开辟了道路.2级数的概念及相关性质定义1给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中，称为数项级数的通项.数项级数也通常写作：，或简单写作.数项级数的前项和，记为定义2给定一个定义在数集上的函数列，表达式称为定义在上的函数项级数，简记为或.称24为函数项级数的部分和数列.定义3若数项

7、级数的部分和数列收敛于（即），则称数项级数收敛，称为数项级数的和，记为或.若发散，则称数项级数是发散的.定义4若，数项级数收敛，即当时部分和的极限存在，则称级数在点收敛，称为级数的收敛点.若级数发散，则称级数在点发散.若级数在的某个子集上每点都收敛，则称级数在上收敛.级数在上每一点与其所对应的数项级数的和构成一个定义在上的函数，称为级数的和函数，并写作即.由此可见，函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列的收敛性.性质1设级数与都收敛，且其和分别为与，则（1），级数也收敛，且有；24（2）若，则.性质2

8、在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项，该级数的敛散性不变.性质3设级数收敛，则必有.但是不是级数收敛的充分条件，如调和级数.3数项级数的敛散性判别法及其应用目前，比较为我们所熟悉的判定级数敛散性的方法主要有定义法、柯西（Cauchy）法、比较法、比式法、根式法以及利用性质来判定等等，然而，以上各种方法在不同程度上都有着各自的局限性，无法得到很广泛的应用，为了弥补上述不足，本文通过查阅各种资料，特整理出了一些比较新的级数敛散性的判别法，下