2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案（含解析）新人教B版必修5

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1、1.1.1　正弦定理学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一　正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆的半径)知识点二　正弦定理的变形公式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆的半径)．知识点三　解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．正弦定理对任意的三角形都成

2、立．(　√　)2．在△ABC中，等式bsinC＝csinB总能成立．(　√　)3．在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.(　×　)4．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　×　)题型一　已知两角及一边解三角形例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形．解　根据正弦定理，得b＝＝＝10.又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.∴c＝＝＝20.反思感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出

3、第三个角．跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，则△ABC最短边的边长等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，所以B是最小角，b为最短边．由正弦定理，得＝，即＝，则b＝，故选A.题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．解　∵＝，∴sinC＝＝＝，∵c>a，C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝

4、－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.引申探究若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？解　∵＝，∴sinA＝＝＝.∵c＝>2＝a，∴C>A.∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．反思感悟　这一类型题目的解题步骤为①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；②用三角形内角和定理求出第三个角；③根据正弦定理求出第三条边．其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值．跟踪训练2　在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝.答案　105°或15°解析　由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.∵B∈

5、(0°，180°)，∴B＝45°或135°，∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.题型三　正弦定理的证明例3　△ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：＝＝＝2R.证明　①若∠A为直角(如图1所示)，在Rt△BAC中，可直接得a＝2RsinA；②在锐角△ABC中，如图2，连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角A′＝A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，a＝2RsinA.③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C，

6、则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中，BC＝A′BsinA′＝2Rsin(π－A)＝2RsinA，即a＝2RsinA.由①②③得a＝2RsinA，即2R＝，同理可证，2R＝，2R＝.所以＝＝＝2R.反思感悟　引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，更加方便实现三角形中的边角互化．三角形形状的判断典例　在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形．证明　∵＝，∴＝，又∵＝，∴＝，∴a2＝b2即a＝b，设＝＝＝k(k≠0)，则sinA＝，sinB＝，sinC＝，又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，∴

7、＋＝，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰直角三角形．[素养评析]　(1)正弦定理是以比例的形式给出来的，所以在应用时要注意结合比例的基本性质．(2)正弦定理可以实现边角互化．(3)判断和证明要掌握推理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质，突出体现逻辑推理的数学核心素养.1.在△ABC中，一定成立的等式是(　　)A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA答案　C解析　由正弦定理＝，得asinB＝bsinA，故选C.2．在△ABC中，若sinA＝sinC，则△ABC是(　　)A．直角三

8、角形B．等腰三角形C．锐