2018-2019版高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 第2课时 绝对值不等式的解法学案 新人教A版选修4-5

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1、第2课时 绝对值不等式的解法学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

2、ax+b

3、≤c,

4、ax+b

5、≥c,

6、x-a

7、+

8、x-b

9、≥c,

10、x-a

11、+

12、x-b

13、≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法,并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.知识点一 

14、ax+b

15、≤c和

16、ax+b

17、≥c型不等式的解法思考1 

18、x

19、≥2说明实数x有什么特征?答案 x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.∴x≥2或x≤-2.思考2 若

20、2x-3

21、≤5,求x的取值范围.答案 {x

22、-1≤x≤4}.梳理 (1)含绝对值不等式

23、

24、x

25、<a与

26、x

27、>a的解法①

28、x

29、<a⇔②

30、x

31、>a⇔(2)

32、ax+b

33、≤c(c>0)和

34、ax+b

35、≥c(c>0)型不等式的解法①

36、ax+b

37、≤c⇔-c≤ax+b≤c,②

38、ax+b

39、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.知识点二 

40、x-a

41、+

42、x-b

43、≥c和

44、x-a

45、+

46、x-b

47、≤c型不等式的解法思考 如何去掉

48、x-a

49、+

50、x-b

51、的绝对值符号?答案 采用零点分段法.即令

52、x-a

53、+

54、x-b

55、=0,得x1=a,x2=b,(不妨设a<b)

56、x-a

57、+

58、x-b

59、=梳理 

60、x-a

61、+

62、x-b

63、≥c和

64、x-a

65、+

66、x-b

67、≤c型不

68、等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.(2)以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.特别提醒:解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,去绝对值符号的关键是“零点分段”法.类型一 

69、

70、ax+b

71、≤c与

72、ax+b

73、≥c(c>0)型的不等式的解法例1 解下列不等式:(1)

74、5x-2

75、≥8;(2)2≤

76、x-2

77、≤4.解 (1)由

78、5x-2

79、≥8,得5x-2≥8或5x-2≤-8,解得x≥2或x≤-,∴原不等式的解集为.(2)原不等式等价于由①得x-2≤-2或x-2≥2,∴x≤0或x≥4,由②得-4≤x-2≤4,∴-2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x

80、-2≤x≤0或4≤x≤6}.反思与感悟 

81、ax+b

82、≥c和

83、ax+b

84、≤c型不等式的解法(1)当c>0时,

85、ax+b

86、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,

87、ax+

88、b

89、≤c⇔-c≤ax+b≤c.(2)当c=0时,

90、ax+b

91、≥c的解集为R,

92、ax+b

93、<c的解集为∅.(3)当c<0时,

94、ax+b

95、≥c的解集为R,

96、ax+b

97、≤c的解集为∅.跟踪训练1 解关于x的不等式:

98、

99、x-1

100、-4

101、<2.解 

102、

103、x-1

104、-4

105、<2⇔-2<

106、x-1

107、-4<2⇔2<

108、x-1

109、<6⇔⇔⇔⇔-5<x<-1或3<x<7.∴不等式

110、

111、x-1

112、-4

113、<2的解集为{x

114、-5<x<-1或3<x<7}.类型二 

115、x-a

116、+

117、x-b

118、≥c和

119、x-a

120、+

121、x-b

122、≤c(c>0)型不等式的解法例2 解关于x的不等式:

123、

124、3x-2

125、+

126、x-1

127、>3.解 方法一 分类(零点分段)讨论法

128、3x-2

129、=0,

130、x-1

131、=0的根,1把实数轴分为三个区间,在这三个区间上根据绝对值的定义,代数式

132、3x-2

133、+

134、x-1

135、有不同的解析表达式,因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.①因为当x≤时,

136、3x-2

137、+

138、x-1

139、=2-3x+1-x=3-4x,所以当x≤时,

140、3x-2

141、+

142、x-1

143、>3⇔3-4x>3⇔x<0.因此,不等式组的解集为{x

144、x<0}.②因为当<x<1时,

145、3x-2

146、+

147、x-1

148、=3x-2+1-x=2x-1,所以当<x<1时,

149、3x

150、-2

151、+

152、x-1

153、>3⇔2x-1>3⇔x>2.因此,不等式组的解集为∅.③因为当x≥1时,

154、3x-2

155、+

156、x-1

157、=3x-2+x-1=4x-3,所以当x≥1时,

158、3x-2

159、+

160、x-1

161、>3⇔4x-3>3⇔x>.因此,不等式组的解集为.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集,即{x

162、x<0}∪∅∪=.方法二 构造函数f(x)=

163、3x-2

164、+

165、x-1

166、-3,则原不等式的解集为{x

167、f(x)>0}.f(x)=作出函数f(x)的图象,如图.它是分段线性函数,函数的零点是0和.从图象可知,当x∈(-∞,0)∪时,有f(x)

168、>0.所以原不等式的解集是(-∞,0)∪.反思与感悟 

169、x-a

170、+

171、x-b

172、≥c,

173、x-a

174、+

175、x-b

176、≤c(c>0)型不等式的三种解法:分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.跟踪训练2 解不等式

177、x+7

178、-

179、x-2

180、≤3.解 

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