2019高考数学三轮冲刺 大题提分 大题精做10 函数与导数：存在、恒成立与最值问题 文

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1、大题精做10函数与导数：存在、恒成立与最值问题[2019·广州一模]已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证．【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析．【解析】（1）当时，，的定义域是，，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，因为，所以，，故存在，使得．当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即，由，得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即时，取最大值1，．1．[2019·青海联考]已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当有最

2、小值，且最小值不小于时，求的取值范围．2．[2019·咸阳模拟]设函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）求证：当时，．3．[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为．（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若，证明：．1．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，，所以函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，，故函数在上单调递减；当时，，故函数在上单调递增．（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．，整理得，即．令，易知在上单调递增，且；所以的解集为，所以．2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当时，，，令，则．当时，；当时，，∴函数

3、的单调递增区间是；单调递减区间是．（2）由（1）知，当时，，∴当时，，即，当时，要证，只需证，令，，由，可得，则时，恒成立，即在上单调递增，∴．即，∴．3．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1），由切线斜率，解得．，其定义域为，，令，解得，故在区间上单调递增；令，解得，且，故在区间和区间上单调递减．（2）由（1）知，定义域为．从而等价于，设，则，．当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而在的最小值为．设，则，当时，；当时，，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而在的最大值为，综上所述，在区间上恒有成立，即．