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时间:2019-05-18
《高考专题精校解析Word版---数学(文)冲刺大题精做10 函数与导数:存在、恒成立与最值问题(文)(教师版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数与导数存在、恒成立与最值问题[2019·广州一模]已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)当时,记的最小值为,求证.【答案】(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析.【解析】(1)当时,,的定义域是,,当时,;当时,.所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)证明:由(1)得的定义域是,,令,则,在上单调递增,因为,所以,,故存在,使得.当时,,,单调递减;当时,,,单调递增;故时,取得最小值,即,由,得,令,,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,故,即时,取最大值1,.
2、模拟精做1.[2019·青海联考]已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当有最小值,且最小值不小于时,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1),当时,,所以函数在上单调递增;当时,令,解得,当时,,故函数在上单调递减;当时,,故函数在上单调递增.(2)由(1)知,当时,函数在上单调递增,没有最小值,故.,整理得,即.令,易知在上单调递增,且;所以的解集为,所以.2.[2019·咸阳模拟]设函数,.(1)当时,求的单调区间;(2)求证:当时,.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解
3、析】(1)当时,,,令,则.当时,;当时,,∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是.(2)由(1)知,当时,,∴当时,,即,当时,要证,只需证,令,,由,可得,则时,恒成立,即在上单调递增,∴.即,∴.3.[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为.(1)求实数的值,并讨论函数的单调性;(2)若,证明:.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1),由切线斜率,解得.,其定义域为,,令,解得,故在区间上单调递增;令,解得,且,故在区间和区间上单调递减.(2)由(1)知,定义域为.从而等价于,
4、设,则,.当时,;当时,.故在区间上单调递减,在区间上单调递增,从而在的最小值为.设,则,当时,;当时,,故在区间上单调递增,在区间上单调递减,从而在的最大值为,综上所述,在区间上恒有成立,即.
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