高考专题精校解析Word版---数学（文）冲刺大题精做9 圆锥曲线：存在性问题（文）（教师版）

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1、圆锥曲线：存在性问题[2019·株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，．【解析】（1）由题意，，，，∵的周长为6，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．（2）假设存在常数满足条件．①当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，．∴，∴，解得，即时，；综上所述，当时，．模拟精做1．[2019·宜昌调研]已知椭圆的离

2、心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线或．【解析】（1）∵，，且有，解得，，∴椭圆的方程为．（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，，联立，∴，∵，∴为线段的中点，∴……④，将④代入②解得……⑤将④代入③得……⑥将⑤代入⑥解得……⑦将⑦式代入①式检验成立，∴，即存在直线或合题意．2．[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．（1）求抛物线的方程；（2）若

3、直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在及点，对任意实数，都有．【解析】（1）由得点横坐标为，由抛物线定义及得，，所以，所以抛物线的方程为．（2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有，设，，，联立，得，则，，，由，得，所以，，，当时不满足题意，所以，即存在及点，对任意实数，都有．3．[2019·广州一模]已知动圆过定点，且与定直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，，试探究在轴上是否存在定点（异

4、于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）见解析．【解析】（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中．动圆圆心的轨迹的方程为．解法2：设动圆圆心，依题意：．化简得，即为动圆圆心的轨迹的方程．（2）假设存在点满足题设条件．由可知，直线与的斜率互为相反数，即①直线的斜率必存在且不为0，设，由，得．由，得或．设，，则，．由①式得，，即．消去，，得，，，，存在点使得．