高考数学热点考点题型探析：基本不等式

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1、高考数学热点考点题型探析基本不等式★热点考点题型探析★考点1利用基本不等式求最值（或収值范围）题型1.当积ob为定值时，求和a+b最小值22例1・己知x>0,j>0J1满足一+—=1,求x+y的最小值・无yOQ【解题思路】利用一+-=h构造均值不等式兀y28?v解析:Tx+y=（x+y）•1=（兀+y）•（—I—）=2+81,x>0,y〉0,/•xyxy2y8x—>0,—>0x+yniO+2你=18,当且仅当^=—时等号成立，即y2=4x2fAy=2x，又兀y28—+—=1,x=6,y=12・••当x=6,y=12时，兀

2、+y有最小值18.兀y【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1）要求各数均为正数；（2）要求“和”或“积”为定值；（3）要注意是否具备等号成立的条件.题型2.当和a+b为定值时，求积db最大值例2.已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值.【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy转化成lgxy考虑.解析Vx>0,y>0,3x+4y=12,r3x+4yV、2>Algx+lgy=lgxy^lg3.x>0,y>0由<

3、3x+4y=12解得3x=4y当x=2,y=3时，lgx+lgy取得最大值lg3•【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一.题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解.解法一由a、beR+,由重要不等式得a+b$2j^,则ab二a+b+322+3,即ab-2陌-3$0=>(临-3)(7亦+1)$0=>陌$3,・•・ab29.解法二a、b为正数，・：ab二a+b+3N3“3肪>0,两边立方得

4、a3b5^34ab=>a2b2^34,Vab>(),Aab>9.解法三原条件式变为ab-3=a+b,①・・・a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab,・.・a2+b2>2ab,a2b2-6ab+9>4ab,即a2b2-10ab+9>0,(ab-l)(ab-9)^0,由①式可知ab>3,・・・ab$9.解法四把a、bER+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=O,则△=(3-ab)'-4ab20,即(ab)2-10ab+9^0,/.(ab-9)(ab-l

5、)^0,・.*ab-l=a+b+2>0成立,.・.ab^9・解法五由已知得a(b・l)=b+3,显然a>1,/.a=+,b-•岀=3一1)2+53一1)+4=—1+丄+5$2扬+5=9,b-b-h-即ab>9.【名师指引】本题用了转化思想(等式转化为不等式)、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法.【新题导练】1.若兀>一1,贝ljx=时,X+—!—有最小值，最小值为・兀+1解析IVx>—1,x+1>0,>0,x4=兀+12./(x+1)1x+1x+1兀+1Vx+1=2-1=1,当且仅当兀+1=丄即

6、X=0时(无+丄)Mn=1.x+1x+11..(2008-华附)已知兀,yG/?*,11%+4y=1,则丄+丄的最小值为兀y解析：丁x,ywR*,.:丄+丄二土上+土上=5+空+兰29，当且仅当x==l时取等xyxyxy36号.2.已知一动直线/与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面枳的数值比直线/的纵、横截距之和大1,求这三角形面积的最小值.XV]解析：设直线/的方程—I—=1(a>0,b>0),则一d/?二g+/?+1,•/a+b>2ab,ab2—ab>2y[ab+1,即(4ab)2-4>J~ab-2^0,解得y[ab2

7、+V6,2A-abM丄(2+拆)S当a=b=2+V6时,三角形面积的最小值为5+2后22考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1.己知a,b,cwR,求证：a2+Z?2+c2>ab4-be+ca・【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析]•・•a2+b2>2ah,b2+c2>2bc,a2+c2>lacy相加整理得a2+/?2+c2>ab+be+co・当且仅当d=b=c时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，

8、有时要适当变形.例2.已知a,b为正数，求证:【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：•••a>0,b>0,・・・吗=+*三24b~^=•4b=2y[ci,・y[a=14b,两式相加，得4a$2yl~a+2y[b,莘+卓$血+丽.QbQci/.~^=+24a+J~b.yjb4a解析3.Ja>0,b>0,・•