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1、08078函数关于任意直线翻折问题的条件及解析式探究上海市控江小学吴烽菲指导老师：王建华【摘要】单值函数（本文简称函数）在数学学科以及实际生活屮都冇着极其广泛的应用，通过对应法则确定量与量Z间的一般规律，体现了数学的逻辑性、简明性，冇效解决了生活屮的许多实际问题，所以研究函数的特征及变化规律对基础学科学习和生活实际都冇着很重要的意义。本课题通过运用导函数等工具通过数形结合、代入转移等多种数学思想讨论探究了以下两个问题并得岀结论与定理：1、可导函数关于任意直线翻折后仍为函数的充要条件。定理一区间I上的连续函数是单射（/州,兀2工兀2,贝U/（X
2、）H/（兀
3、2）），当且仅当它是单调的。定理二可导函数沿已知直线翻折所得仍为函数的充要条件:sin0+cosOf'(x)〉°。上血&+cosOf*(x)<°cos0-sinOf'(x)cos0-sinOf*(x)2、函数关丁任意直线翻折后的新函数解析式。当直线为兀时，新函数解析式:y=f(2a-x),其屮，xgD',{xx=2a-c,cgd}当直线为y=kx+b（k=±l）时，新函数解析式:丽(2aWE)P+/^(2a「c(ank))］十匕仇聞上)sin(2arctanA:)k(其中,xg£>',{兀兀=bsin(2arctan/:),(?e£)})sin(2arct
4、anZ:)当直线为y=kx+h(R=0)时，新函数解析式：y=2b-f(x)(其中,xwZ),此吋,D=D)当直线y=kx+b(k工±l,kH0,kwR)时，函数及定义域可由方程2也+伙2-1”+2/?_丁((1一疋)兀+2灯一2肋)=°确定关键词：函数翻折充要条件导数解析式【课题背景】在高小数学学习小，涉及到了单调函数关于特殊直线J=X翻折问题（即反函数定义：对于函数y=/W,设它的定义域为Q,值域为如果对A中任意一个值y,在D中总冇唯一确定的x值与它对应，且满足y=这样得到的兀关于y的函数叫做y=fM的反函数，记作y=f-x）,反函数性质：互为反函数
5、的两个函数的图象关于直线y=x对称），由此，本课题旨在解决以下两个问题：1、函数关于任意直线（已知直线y二x推广到任意直线）翻折后仍为函数的充耍条件2、若函数关于任意直线翻折后仍为函数，则求其函数解析式的一般表达式【研究过程及结果】先作如下定义:原函数：y=f（x）定义域：D值域：A已知直线：y=kx+h^x=a第一节可导函数关于任意直线翻折后仍为函数的充要条件。根据函数定义，这个问题可等价为翻折后可导函数与直线"C（c为变量）每确定一个C,至多有一个交点。若将直线兀=c沿已知直线翻折,所得直线斜率记为L（L不存在，显然满足条件），则此问题又可等价为原函数
6、与直线y="兀+加至多一个交点o若已知直线斜率不存在，显然地,满足条件。故以下涉及到已知直线的研究时，只考虑斜率存在情况。（-）计算"（用£的表达式表示L）L为直线兀=c沿已知直线翻折所得直线斜率，k为已知直线斜率。（k1不存在时，显然的，原函数翻折所得为函数）1、k>0仙"Zio-./孙£"1/k1=tan(^-[2x(arctank)])22£'=-cot2arctank2、k<0k1=tan[(2x(arctank+7i)+—)]22L=一cot2arctank综上，y=(-cot2arctanZ:)x+m,Z:0即y=x+m,k^0因此，tan^=
7、—2karctanarctan£-1——^e[-l,())u[l,+<^)2kk2_1——+g(-oo,-1)8、}+/@）］/2被取到至少两次2V（^）＞/（WW＜/（c）与1。同理・••引理得证（现在，开始证明原命题）充分性）即证：区间I上的连续函数是单调的，那么它单射。单调=＞单射是明显的必要性）即证：区间I上的连续函数是单射，那么它单调。对于一个命题而言，原命题与其逆否命题同真假，故下证其逆否命题:若于是非单调函数,则存在西V兀2使得/Ul）-/（^2）＜0，也存在%3＜X4使得/（x3）-/（x4）＞0分以下三种情况进行分析：1。苟'/）＞/（兀2），则IX＜禹，则兀3＜兀］＜兀2（/（可）一/（兀1））（/（旺）一/（兀2））V。2'X］＜X3＜X2，则兀
9、i＜兀3V兀2（/（兀
10、）一/（兀3））（/（尢3）-/（兀2））
