2018-2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二第1课时绝对值三角不等式学案新人教A版选修

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1、第1课时 绝对值三角不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释,理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题.知识点 绝对值三角不等式思考1 实数a的绝对值

2、a

3、的几何意义是什么?答案 

4、a

5、表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离.思考2 代数式

6、x+2

7、+

8、x-3

9、的几何意义是什么?答案 表示数轴上的点x到点-2,3的距离之和.梳理 (1)定理1:如果a,b是实数,则

10、a+b

11、≤

12、a

13、+

14、b

15、,当且仅当ab≥0时,等号成立.几何解释:用向

16、量a,b分别替换a,b.①当a与b不共线时,有

17、a+b

18、<

19、a

20、+

21、b

22、,其几何意义为两边之和大于第三边;②若a,b共线,当a与b同向时,

23、a+b

24、=

25、a

26、+

27、b

28、,当a与b反向时,

29、a+b

30、<

31、a

32、+

33、b

34、;由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.③定理1的推广:如果a,b是实数,那么

35、

36、a

37、-

38、b

39、

40、≤

41、a±b

42、≤

43、a

44、+

45、b

46、.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么

47、a-c

48、≤

49、a-b

50、+

51、b-c

52、.当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C

53、,当点B在点A,C之间时,

54、a-c

55、=

56、a-b

57、+

58、b-c

59、.当点B不在点A,C之间时:①点B在A或C上时,

60、a-c

61、=

62、a-b

63、+

64、b-c

65、;②点B不在A,C上时,

66、a-c

67、<

68、a-b

69、+

70、b-c

71、.应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f(x)=x2-2x,实数a满足

72、x-a

73、<1.求证:

74、f(x)-f(a)

75、<2

76、a

77、+3.证明 ∵f(x)=x2-2x,且

78、x-a

79、<1,∴

80、f(x)-f(a)

81、=

82、x2-2x-a2+2a

83、=

84、(x+a)(x-a)-2(x-a)

85、=

86、(x-a)(x

87、+a-2)

88、=

89、x-a

90、·

91、x+a-2

92、<

93、x+a-2

94、=

95、(x-a)+(2a-2)

96、≤

97、x-a

98、+

99、2a-2

100、<1+

101、2a

102、+

103、2

104、=2

105、a

106、+3,∴

107、f(x)-f(a)

108、<2

109、a

110、+3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用

111、

112、a

113、-

114、b

115、

116、≤

117、a±b

118、≤

119、a

120、+

121、b

122、,通过适当的添、拆项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.跟踪训练1 

123、已知

124、A-a

125、<,

126、B-b

127、<,

128、C-c

129、<,求证:

130、(A+B+C)-(a+b+c)

131、<s.证明 ∵

132、(A+B+C)-(a+b+c)

133、=

134、(A-a)+(B-b)+(C-c)

135、≤

136、(A-a)+(B-b)

137、+

138、C-c

139、≤

140、A-a

141、+

142、B-b

143、+

144、C-c

145、,又∵

146、A-a

147、<,

148、B-b

149、<,

150、C-c

151、<,∴

152、A-a

153、+

154、B-b

155、+

156、C-c

157、<++=s,∴

158、(A+B+C)-(a+b+c)

159、<s.类型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y=

160、x-3

161、-

162、x+1

163、的最大值和最小值;(2)如果关于x的不等式

164、x-3

165、+

166、x-4

167、<a的解集

168、为空集,求参数a的取值范围.解 (1)方法一 

169、

170、x-3

171、-

172、x+1

173、

174、≤

175、(x-3)-(x+1)

176、=4,∴-4≤

177、x-3

178、-

179、x+1

180、≤4,∴ymax=4,ymin=-4.方法二 把函数看作分段函数,y=

181、x-3

182、-

183、x+1

184、=∴-4≤y≤4,∴ymax=4,ymin=-4.(2)只要a不大于

185、x-3

186、+

187、x-4

188、的最小值,则

189、x-3

190、+

191、x-4

192、<a的解集为空集,而

193、x-3

194、+

195、x-4

196、=

197、x-3

198、+

199、4-x

200、≥

201、x-3+4-x

202、=1,当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即3≤x≤4时等号成立.∴当3≤x≤4时,

203、x-3

204、+

205、x-4

206、

207、取得最小值1.∴a的取值范围为(-∞,1].反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式.(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键.跟踪训练2 (1)已知x∈R,求f(x)=

208、x+1

209、-

210、x-2

211、的最值;(2)若

212、x-3

213、+

214、x+1

215、>a的解集不是R,求a的取值范围.解 (1)∵

216、f(x)

217、=

218、

219、x+1

220、-

221、x-2

222、

223、≤

224、(x+1)-(x-2)

225、=3,∴-3≤f(x)≤3,∴f(x)min=-3,f(x)max=3.(2)∵

226、x-3

227、+

228、x+1

229、≥

230、(x-3)-(

231、x+1)

232、=4,∴

233、x-3

234、+

235、x+1

236、≥4.∴当a<4时,

237、x-3

238、+

239、x+1

240、>a的解集为R.又∵

241、x-3

242、+

243、x+1

244、>a的解集不是R,∴a≥4.∴a的取值范围是[4,+∞).类型三 绝对值三角不等式的综合应用例3

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