2018-2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二第1课时绝对值三角不等式学案新人教A版选修

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1、第1课时　绝对值三角不等式学习目标　1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题．知识点　绝对值三角不等式思考1　实数a的绝对值

2、a

3、的几何意义是什么？答案　

4、a

5、表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离．思考2　代数式

6、x＋2

7、＋

8、x－3

9、的几何意义是什么？答案　表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和．梳理　(1)定理1：如果a，b是实数，则

10、a＋b

11、≤

12、a

13、＋

14、b

15、，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向

16、量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有

17、a＋b

18、＜

19、a

20、＋

21、b

22、，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，

23、a＋b

24、＝

25、a

26、＋

27、b

28、，当a与b反向时，

29、a＋b

30、＜

31、a

32、＋

33、b

34、；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，那么

35、

36、a

37、－

38、b

39、

40、≤

41、a±b

42、≤

43、a

44、＋

45、b

46、.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么

47、a－c

48、≤

49、a－b

50、＋

51、b－c

52、.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C

53、，当点B在点A，C之间时，

54、a－c

55、＝

56、a－b

57、＋

58、b－c

59、.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，

60、a－c

61、＝

62、a－b

63、＋

64、b－c

65、；②点B不在A，C上时，

66、a－c

67、＜

68、a－b

69、＋

70、b－c

71、.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．类型一　含绝对值不等式的证明例1　设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足

72、x－a

73、＜1.求证：

74、f(x)－f(a)

75、＜2

76、a

77、＋3.证明　∵f(x)＝x2－2x，且

78、x－a

79、＜1，∴

80、f(x)－f(a)

81、＝

82、x2－2x－a2＋2a

83、＝

84、(x＋a)(x－a)－2(x－a)

85、＝

86、(x－a)(x

87、＋a－2)

88、＝

89、x－a

90、·

91、x＋a－2

92、＜

93、x＋a－2

94、＝

95、(x－a)＋(2a－2)

96、≤

97、x－a

98、＋

99、2a－2

100、＜1＋

101、2a

102、＋

103、2

104、＝2

105、a

106、＋3，∴

107、f(x)－f(a)

108、＜2

109、a

110、＋3.反思与感悟　两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用

111、

112、a

113、－

114、b

115、

116、≤

117、a±b

118、≤

119、a

120、＋

121、b

122、，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1　

123、已知

124、A－a

125、＜，

126、B－b

127、＜，

128、C－c

129、＜，求证：

130、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

131、＜s.证明　∵

132、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

133、＝

134、(A－a)＋(B－b)＋(C－c)

135、≤

136、(A－a)＋(B－b)

137、＋

138、C－c

139、≤

140、A－a

141、＋

142、B－b

143、＋

144、C－c

145、，又∵

146、A－a

147、＜，

148、B－b

149、＜，

150、C－c

151、＜，∴

152、A－a

153、＋

154、B－b

155、＋

156、C－c

157、＜＋＋＝s，∴

158、(A＋B＋C)－(a＋b＋c)

159、＜s.类型二　利用绝对值三角不等式求最值例2　(1)求函数y＝

160、x－3

161、－

162、x＋1

163、的最大值和最小值；(2)如果关于x的不等式

164、x－3

165、＋

166、x－4

167、＜a的解集

168、为空集，求参数a的取值范围．解　(1)方法一　

169、

170、x－3

171、－

172、x＋1

173、

174、≤

175、(x－3)－(x＋1)

176、＝4，∴－4≤

177、x－3

178、－

179、x＋1

180、≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二　把函数看作分段函数，y＝

181、x－3

182、－

183、x＋1

184、＝∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要a不大于

185、x－3

186、＋

187、x－4

188、的最小值，则

189、x－3

190、＋

191、x－4

192、＜a的解集为空集，而

193、x－3

194、＋

195、x－4

196、＝

197、x－3

198、＋

199、4－x

200、≥

201、x－3＋4－x

202、＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，

203、x－3

204、＋

205、x－4

206、

207、取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝

208、x＋1

209、－

210、x－2

211、的最值；(2)若

212、x－3

213、＋

214、x＋1

215、＞a的解集不是R，求a的取值范围．解　(1)∵

216、f(x)

217、＝

218、

219、x＋1

220、－

221、x－2

222、

223、≤

224、(x＋1)－(x－2)

225、＝3，∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.(2)∵

226、x－3

227、＋

228、x＋1

229、≥

230、(x－3)－(

231、x＋1)

232、＝4，∴

233、x－3

234、＋

235、x＋1

236、≥4.∴当a＜4时，

237、x－3

238、＋

239、x＋1

240、＞a的解集为R.又∵

241、x－3

242、＋

243、x＋1

244、＞a的解集不是R，∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞)．类型三　绝对值三角不等式的综合应用例3