2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 习题课 导数的应用学案 苏教版选修1 -1

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1、习题课　导数的应用学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一　函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.知识点三　函数y＝f(x)在

2、[a，b]上最大值与最小值的求法1.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.2.将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.函数y＝xlnx在上是减函数.(　√　)2.若函数y＝ax－lnx在内单调递增，则a的取值范围为(2，＋∞).(　×　)3.设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝2.(　×　)4.函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为.(　√　)类型一　导数与函数单调性例1　已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，

3、g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点　利用导数研究函数的单调性解　(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx，则g′(x)＝＋2ax＋b.由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.(2)由(1)得g′(x)＝＝.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－.由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当

4、a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝，若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，由g′(x)＜0得＜x＜1，即函数g(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜，即函数g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上可得，当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0

5、，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.反思与感悟　研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.跟踪训练1　讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性.考点　利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点　利用导数研究函数的单调性解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0

6、x＝，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0

7、得x＝±；当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数.综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0].引申探究1.函数f(x)不变，若f(x)在