2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数学案 苏教版选修1 -1

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1、3.2.1　常见函数的导数学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝kx＋b，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.知识点一　幂函数与一次函数的导数思考1　函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案　当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与

2、k

3、有关，

4、k

5、越大，函数减少的越快.思考2　你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及()′＝归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗

6、？答案　f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(xα)′＝αxα－1(α为常数).知识点二　基本初等函数的求导公式思考　计算过程′＝－sin＝－正确吗？答案　不正确.因为cos＝为常数，其导数为0.梳理　原函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f

7、(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－11.(ex)′＝ex.(　√　)2.(lnx)′＝.(　√　)3.′＝cos＝.(　×　)4.若f(x)＝，则f′(x)＝－.(　√　)类型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x.考点　几个常用函数的导数题点　几个常用函数导数的应用解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝

8、－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝()′＝＝＝.(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝()′＝＝－.(6)y′＝(3x)′＝3xln3.反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝2－x；(3)f(x)＝e2；(4)f(x)＝cosx.考点　几个常用函数的导数题点　几个常用函数导数的应用解　(1)f′(x)＝()′＝＝；(2)f′(x

9、)＝′＝xln＝－2－xln2；(3)f′(x)＝(e2)′＝0；(4)f′(x)＝(cosx)′＝－sinx.类型二　导数公式的综合应用例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.考点　几个常用函数的导数题点　幂函数的导数解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝＝1，而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.所以切点为.所以所求切线方程为y－＝(－1)

10、，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.考点　几个常用函数的导数题点　幂函数的导数解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M.所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.

11、跟踪训练2　已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.考点　基本初等函数的导数公式题点　正弦、余弦函数的导数解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－

12、y－2＝0的最短距离.考点　几个常用函数的导数题点　幂函数的导数解　依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x).∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为，∴所求的最短距离d＝＝.反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问