2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数学案 苏教版选修1-1

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1、3．2.1　常见函数的导数学习目标　1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．知识点一　幂函数与一次函数的导数思考1　函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？　　思考2　你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(x)′＝x归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗？　　梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数)．(2)(xα)′＝α·xα－1(α为常数)．知识点二　基本初等函数的求导公式思考1　计算过程(cos)′＝－sin＝－正确吗？　　思考2　如何利用(lnx)′

2、推出(logax)′？　　梳理　原函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1类型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝2sincos；(5)y＝logx；(6)y＝3x.　　　　　　反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后

3、求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝(1－)(1＋)＋；(2)y＝2cos2－1.　　类型二　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式解决切线问题例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．　　　反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2　已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在

4、这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．　　　命题角度2　利用导数公式求最值问题例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．　　反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3　已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．　　1．设函数f(x)＝l

5、ogax，f′(1)＝－1，则a＝________.2．下列结论：①(sinx)′＝－cosx；②′＝；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的结论是________．3．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．4．设正弦函数y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．5．求下列函数的导数．(1)y＝cos；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos(－x)．　　1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．

6、解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业　第3章　§3.2　3.2.1答案精析问题导学知识点一思考1　当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与

7、k

8、有关，

9、k

10、越大，函数减少的越快．思考2　f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.知识点二思考1　不正确．因为cos＝为常数，其导数为0.思考2　(logax)′＝

11、′＝(lnx)′＝·＝.题型探究例1　解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝.(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝(logx)′＝＝－.(6)y′＝(3x)′＝3xln3.跟踪训练1　解　(1)∵y＝(1－)(1＋)＋＝＋＝＝x，∴y′＝－x.(2)∵