2019_2020学年高中数学课时分层作业12等差数列前n项和的综合应用（含解析）新人教A版必修5

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1、课时分层作业(十二)　等差数列前n项和的综合应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)A．－2　　B．－1　　C．0　　D．1B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是(　　)A．②③B．①②C．①③D．①④B　[∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<

2、0，①正确；又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确；{Sn}中最大项为S6，④不正确．故正确的是①②.]3．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则

3、a1

4、＋

5、a2

6、＋…＋

7、a10

8、等于(　　)A．15B．35C．66D．100C　[易得an＝

9、a1

10、＝1，

11、a2

12、＝1，

13、a3

14、＝1，令an>0则2n－5>0，∴n≥3.∴

15、a1

16、＋

17、a2

18、＋…＋

19、a10

20、＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.]4．设数列{an}是等差数列，若a1

21、＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)A．18B．19C．20D．21C　[a1＋a3＋a5＝105＝3a3，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝99＝3a4，∴a4＝33，∴d＝＝－2，∴an＝a3＋(n－3)d＝41－2n，令an>0，∴41－2n>0，∴n<，∴n≤20.]5．＋＋＋＋…＋等于(　　)A．B．C．D．C　[通项an＝＝，∴原式＝＝＝.]二、填空题6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．5　[∵S3，S6－S3，S9－S6

22、成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]7．已知等差数列{an}中，

23、a5

24、＝

25、a9

26、，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．6或7　[由

27、a5

28、＝

29、a9

30、且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．]8．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．5或6　[∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6

31、＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大．]三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？[解]　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n

32、≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．10．若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝

33、a1

34、＋

35、a2

36、＋…＋

37、an

38、，求Tn.[解]　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝

39、a1

40、＋

41、a2

42、＋…＋

43、an

44、＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝

45、a1

46、＋

47、a2

48、＋…＋

49、an

50、＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝2n2－15n＋56.∴Tn＝[能力提升练]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝4

51、0，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)A．12　　B．14　　C．16　　D．18B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.]2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　)A．3B．4C．5D．6C　[am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝