四渐开线与摆线 (2)

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1、人教版高中数学选修4-4同步辅导第二讲参数方程四、渐开线与摆线A级　基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　)A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大

2、小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.(φ为参数)表示的是(　　)A．半径为5的圆的渐开线的参数方程B．半径为5的圆的摆线的参数方程C．直径为5的圆的渐开线的参数方程D．直径为5的圆的摆线的参数方程6人教版高中数学选修4-4同步辅导解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.答案：B3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是(　　)A．(π，0)　　　　　B．(π，1)C．(2π，2)D．(2π，0)答案：B4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)A．π　　　　B．3π　　　　C．6π

3、　　　　D．10π解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝6人教版高中数学选修4-4同步辅导代入参数方程中可得即A，所以

4、AB

5、＝＝.答案：C二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是___

6、_____．解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.答案：128．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上的一6人教版高中数学选修4-4同步辅导点，对应的参数φ＝，则点P的坐标

7、为________．解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．答案：(π，2)三、解答题9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(φ为参数)．10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方

8、程．解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为(φ是参数)．B级　能力提升6人教版高中数学选修4-4同步辅导1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是(　　)A．3π　　　　　　　B．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH

9、的长是5π.答案：C2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cost)得cost＝0.因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.6人教版高中数学选修4-4同步辅导(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C平移

10、后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由