四渐开线与摆线 (2).ppt

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1、渐开线与摆线把一根没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系一支笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线，它便是渐开线．在自然界里有许多渐开线的例子，例如：一只鹰的嘴，一条鲨鱼的背鳍，等等．鲨鱼的背鳍设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角φ（单位是弧度）的一段弧，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是的长，我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫渐开线的基圆。ABM以基圆圆心O原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系设基圆的半径为r，点M的坐标（x,y)由φ惟一决定。取φ为参数，则点B的坐标为(rcosφ,sinφ

2、),设e1是与同向的单位向量，从而向量e1=(rcosφ,sinφ),设e2是与同向的单位向量，所以=（rφ）e2，同时=(x－rcosφ,y－sinφ),由图可知，e2=（sinφ,－cosφ)(x－rcosφ,y－sinφ)=（rφ）（sinφ,－cosφ)y=r(sinφ－φcosφ)∴x=r(cosφ+φsinφ)（φ为参数）注意：4.基圆内无渐开线3.渐开线的形状取决于基圆的大小1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参

3、数方程。解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：X=11(cosφ+φsinφ)Y=11(sinφ－φcosφ)（φ为参数）例2.当φ=，时，求出渐开线X=cosφ+φsinφY=sinφ－φcosφ上的对应点A，B，并求出A，B的距离。探究？在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2=（sinφ,－cosφ)与向量有相同的方向”这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗？再见！