四渐开线与摆线 (2).ppt

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1、2.4渐开线与摆线银川一中宋彦东1、渐开线的定义探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB，展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件。（（ABMO2、渐开线的参数方

2、程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然,点M由角唯一确定。这就是圆的渐开线的参数方程。xy(ABMOxy渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。2、渐开线的参数方程探究:在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到“向量e2=（sinφ,－cosφ)与向量有相同的方向”这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗？

3、思考：P41如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？3、摆线的定义同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABM画板演示(摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。xyODAEBMC4、摆线的参数方程根据点M满足的几何条件，我们取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位

4、置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r所以，摆线的参数方程为：xyODAEBMC4、摆线的参数方程摆线的参数方程为：思考：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？参数参数的取值范围是;一个拱的宽度是2r，高度是2r.(其中r是滚动圆的半径)：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程摆线的参数方程为：