常微分方程初值问题的Runge-Kutta解法文献综述

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1、文献综述常微分方程初值问题的Runge-Kutta解法　　　　　　　　　　　　　　　　　一、前言部分常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。这些问题都包含某个变量关于另一个变量的变化。大多数这样的问题需要求解一个初值问题，即求解满足给定初值条件的微分方程。我们更多的是使用逼近原问题的解的方法来逼近原方程的解。因逼近方法给出更精确的结果和实际的误差信息，所以更经常被使用。一些典型的常微分初值问题

2、的数值求解问题的方法有：单步法和线性多步法。在求解区间上取定节点令，称为积分网格的步长。用表示初值问题精确解在节点上函数值的近似值。对给定的数值积分方法，中的各个市按某一个递推算法确定的。一个递推算法，如果在用它计算时只用到已经求出的诸值中的，而无须使用其余值中的任何一个，则称此算法为单步方法。相反的则是多步法。单步法主要有欧拉法和Runge-Kutta法，多步法主要有Adams法和Milne法等。本文综述常微分初值问题初值问题的数值解法及其误差估计（相容性、稳定性和收敛性分析），重点介绍了Runge-Kutta法。二、主题部分2.1常微分方程的初值问题概述常

3、微分方程在微积分概念出现后即已出现。从莱布尼兹专门研究用变量变换解决一阶微分方程的求解问题的“求通解”时代，到1841年刘维尔的里卡蒂方程不存在一般初等解和柯西的初值问题的提出，常微分方程转向“求定解”时代。再到19世纪末天体力学的太阳系稳定性问题眼界需要常微分方程解的大范围性态，从而发展到了“求所有解问题”。最后到了20世纪六七十年代，常微分方程因为计算机的发展进入“求特殊解”阶段，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等等。在数学分析（微积分）中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便

4、组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数。自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。在常微分方程中，我们知道只有少数简单的常微分方程才能用初等积分法求出它们的精确解析解，多数情形只能用近似解法求其近似解。近似解法可以分成两类：解析方法和数值方法。其中前者寻求解的近似表达式，后者则是计算微分方程解在求解区域中一些离散点上的近似值。对于一阶的常微分方程初值问题，（1）的数值

5、方法，其中是和的已知函数，为给定的初值。为使上面的解存在、唯一且连续依赖初值，则必须关于满足Lipschitz条件：即存在常数L，使得对于任意，均成立不等式单步显式公式的一般形式为，（2）称为增量函数。一般来说微分方程问题（1）的精确解不满足式（2），即一般地有定义1称为单步显式公式（2）在处的截断误差。一个求解公式的局部截断误差刻画了其逼近微分方程的准确程度。根据上述定义可以直接求的各式的局部截断误差。例如欧拉公式的局部截断误差为定义2如果一个求解公式的局部截断误差为，则称该求解公式是阶的，或称具有阶精度。2.2常微分方程的初值问题的数值方法下面将先简单的介

6、绍一下除Runge-Kutta法外的一些数值方法。2.2.1单步法中的欧拉法单步法中最简单的数值解法是欧拉法。欧拉法的基本思想是由推导出下一个节点，其推导公式为，.其局部截断误差为。欧拉法的几何意义是用一条过的折线来近似替代过的积分曲线。虽然这个方法的计算很简单，但精确度较低，所以有了精确度较高的梯形方法。推导公式为，，它的局部截断误差为。此为隐型格式，迭代求解所需计算量大。结合上述两种方法的优点，从而得到改进欧拉方法。其计算公式为，。2.2.2线性多步法常用的多步法主要有Adams法和Milne法，其中Adams法又包括显式Adams法和隐式Adams法。显

7、式Adams法的线性步公式为其中，。且隐式Adams公式为其中，2.3Runge-Kutta法2.3.1Runge-Kutta法的构造用Taylor级数法的公式，可以构造高阶单步法，但增量函数是用的各阶导数表示的，通常不易计算。由于函数在一点的导数值可以用该点附近若干点的函数值近似表示，因此可以把Taylor级数法中的增量函数改为在一些点上函数值的组合，然后用Taylor展开确定待定的系数，使方法达到一定的阶。这就是Runge-Kutta法的基本思想。或者是在每个区间多取几点，将它们的斜率加权平均作为平均斜率，就有可能构造出精度更高的计算公式。通过构造高阶单步

8、法来提高精度，而较高的精度意味着计算结