【信息与计算科学】【毕业论文】常微分方程初值问题的Runge-Kutta解法

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1、（　20　届）本科毕业论文（设计）常微分方程初值问题的Runge-Kutta解法III摘要：常微分方程是指只有一个自变量的微分方程。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，如自动控制、各种电子学装置的设计等。本文首先介绍了常微分方程以及初值问题的除Runge-Kutta解法外的数值解一些理论；接着，我们对常微分方程初值问题提出Runge-Kutta解法的构造公式；然后，我们再对这个公式进行误差分析，包括相容性、稳定性和收敛性分析；最后，通过一些数值实例，我们验证了Runge-Kutta法的优缺点

2、。关键词：常微分方程；Runge-Kutta解法；误差分析IIITheRunge-KuttaMethodforInitialValueProblemsofOrdinaryDifferentialEquationsAbstract:Theordinarydifferentialequationshaveonlyoneindependentvariableintheequation.Andtheordinarydifferentialequationsplayanimportantroleinmany

3、areas,suchasautomaticcontrol,electronicsequipmentdesignandsoon.Inthispaper,wefirstlyintroducesometheoriesoftheinitialvalueproblemsforordinarydifferentialequations,excepttheRunge-Kuttamethod;Next,weconstructsomenumericalformulationsoftheRunge-KuttaMeth

4、odtosolvetheinitialvalueproblemsforordinarydifferentialequations;Then,wegettheerroranalysisoftheseformulations,includingconsistency,stabilityandconvergenceanalysis;Finally,somenumericalexamplesareprovidedtoconfirmtheadvantagesanddisadvantagesoftheRung

5、e-Kuttamethod.Keywords:ordinarydifferentialequations;Runge-Kuttamethod;errorestimatesIII目录1绪论11.1问题的背景11.2常微分方程初值问题简介12常微分方程初值问题的一些数值解法32.1单步法中的欧拉解法32.2线性多步法33RUNGE-KUTTA解法43.1RUNGE-KUTTA解法的构造43.2误差分析83.2.1相容性83.2.2收敛性83.2.3稳定性104数值算例145结论16致谢17参考文献18

6、附录19III1绪论1.1问题的背景常微分方程在微积分概念出现后即已出现。从莱布尼兹专门研究用变量变换解决一阶微分方程的求解问题的“求通解”时代，到1841年刘维尔的里卡蒂方程不存在一般初等解和柯西的初值问题的提出，常微分方程转向“求定解”时代。再到19世纪末天体力学的太阳系稳定性问题眼界需要常微分方程解的大范围性态，从而发展到了“求所有解问题”。最后到了20世纪六七十年代，常微分方程因为计算机的发展进入“求特殊解”阶段，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等等[1]

7、。常微分方程是指只有一个自变量的微分方程。而且常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等。常微分方程初值问题的数值求解是求近似解的一种经典方法。1.2常微分方程初值问题简介[2]-[9]大多数学科领域内的问题需要求解一个初值问题，即求解满足给定初值条件的微分方程。我们更多的是使用逼近原问题的解的方法来逼近原方程的解。因逼近方法给出更精确的结果和实际的误差信息，所以更经常被使用。现代科学、技术、工

8、程中的大量数学模型都可以用常微分方程的初值问题来描述，所以研究常微分方程初值问题的一些性质、解法很有必要。一些典型的常微分初值问题的数值求解问题的方法有：单步法和线性多步法。在求解区间上取定节点令，称为积分网格的步长。用表示初值问题精确解在节点上函数值的近似值。对给定的数值积分方法，中的各个市按某一个递推算法确定的。一个递推算法，如果在用它计算时只用到已经求出的诸值中的，而无须使用其余值中的任何一个，则称此算法为单步方法。相反的则是多步法。对于一阶的常微分方程初值问题，（1）23的