【教学随笔】例谈均值不等式的运用条件和技巧

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1、例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“若al,a2,...an€/?*,贝lj4+勺+•••+》町eg…％，n—当仇仅当①=a2=...=an(n>2_&ngTV)时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法么一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值•且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可。(1)注意“止数”例1、求函数y=x+丄的值域.x课解:vx+->

2、2Jxx-=2(当且仅当日时取等号)，所以值域为［2,+00).xYX这里错误在于使用均值定理a+b>2陌时忽略了条件：a,bgR+正确解法:⑷当兀>0W,x+->2Jxx-=2(仅当兀=1时取等号)；xx(b)当无<0时，—兀>0而(-%)+(--)>2j(-x)(--)=2(仅当无=—1吋取等号)-2XVXX所以函数的值域是{)，卜<-2或y>2}.(2)注意“相等”例2、设求函数y=3x+4的最小值.兀一误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有•・•XG/?*,)'=2x+X+-^7>3#

3、2x・x•丄=3迈)'min=3证.XvX这里的错课是没有考虑筹号成立的条件.显然要2x=x=-^,这样的兀不存在，故导致错课.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：y=—+—+-L>3J——~=-V18(—=丄时取等号).•22x2V22x222x2V18,3，)'min3V182例3、设e且有/+/?2=3,x2+>,2=6,求ax+by的最大值.222°课解：•・•ax

4、的最人值为一.2这里(1)取等号的条件是仅当x=a,y=h；rh条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值.正确解法：•・•a2x2+b2y2>2axby,/.(a24-Z?2)(x2+y2)>(ax+by)2仅当ax-byax=by时取等，所以ax^by

5、=〉,时取等),乂^+2>,=1,127327z.x=y=以上过程只能说明当"⑴时但没有任何理由说农y得，这种似是而非的鉛误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是立值，致使得不出止确的结果.正确解法:91’.1,x+x+4y、31“兀+2y、3•・・3訂,;.x-y=-.x.x.4y<-()蔦宀丁)所以仅当X=^即尢=f,y=2时取等号."J最大值为二.[x+2y=13627二、常用的处理方法和技巧(1)拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积,从而达到凑

6、积或和为定值的kl的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则.例5、求函数y=2x2+-(%>0)的最小值.解：y=2兀2+2+2n3J2x2•丄2=1^36(2x2=2吋取等号),•2x2xV2x2x22x所以仅当x（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆丄为相同两项，同时使得含变量的因子XX的次数和为零）（2）裂项：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时用此方法。例6、设%>-1,求函数〉,=°+5）（x+2）的最小值兀+1解.J（x+l）+4][（兀+

7、1）+1]*无+1=兀+1++5x+1»2』（兀+1）丄+5=9匕+1=丄取等号）V兀+1x+1所以仅当X=1时,『min=9・（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子兀+1的次数和为零，同时取到等号）（3）添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项.例7、求函数y=3%2+—的最小值.2+F解：『=3（2+兀2）+_^一6»2』3（2+/）（_^）=8能一6〜2+x-V2+x2当口仅当3（2+/）=取等号2+x2所以当"土占屁2,

8、）需=873-6（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6,再减法6,即使得含变量的因子2+x2的次数和为零，同时取到等号）.19例8.若x>0』>0,月.一+—=1,贝欣+y•的最小值.兀y解：兀+尸（“刃（丄+2）二1+9+上+艺>10+2卑血上时取等号）xyxyVxyxy2_9x兀yIx—4所以仅当彳7~时尢+y的最小值为16.丄+2=ib"2［所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1(即乘1即乘丄+-),变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子上的次数和为零，同时取到