【信息与计算科学】【毕业论文】双曲型偏微分方程的求解及其应用

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1、（　20　届）本科毕业论文（设计）双曲型偏微分方程的求解及其应用摘要:双曲型偏微分方程是偏微分方程极其重要的组成部分。它可以描述物体内部的振动，尤其是波动传播过程。本文通过叙述偏微分方程以及其相关的概念定义，并且以波动方程作为双曲型偏微分方程的典型的例子来介绍其求解和应用。文章重点讲述了用分离变量法来求解波动方程的的具体过程，并简单介绍了达朗贝尔方法以及积分变换方法。关键词:双曲型；分离变量；积分变换SolutionofhyperbolicpartialdifferentialequationsanditsapplicationAbstract：Hyperbolicpartiald

2、ifferentialequationsispartialdifferentialequationofthemostimportantcomponents.Itcandescribeobjectinteriorvibration,especiallywaveprocess.Thisarticlethroughnarrativepartialdifferentialequationanditsrelatedconceptsinwaveequationisdefined,andhyperbolicpartialdifferentialequationsasthetypicalexamp

3、letointroduceitssolutionandtheapplication.Thispapertellsthemethodofseparationofvariablestosolvewiththespecificprocessofwaveequation,andbrieflyintroducesthemethodoflangbellandintegraltransformmethod.Keywords:hyperbolictype;separationofvariables;Integraltransform目录1绪论11.1问题的背景、意义11.1.1背景11.1.2意义

4、22双曲型偏微分方程的基本概念32.1偏微分方程的基本概念32.1.1定义32.1.2定解条件和定解问题32.1.3定解问题的适定性33双曲型偏微分方程的求解53.1基本概念53.1.1双曲型53.1.2分离变量法53.1.3一些方程的通解53.2分离变量法63.3达朗贝尔方法123.4积分变换法154双曲型偏微分方程的应用174.1定解问题的求解174.2弦自由振动的求解184.3求解定解问题195结论21致谢22参考文献231绪论1.1问题的背景、意义1.1.1背景扩展微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，成为18世纪数学的鲜明特征之一，产生的新思想使数学本身大大受惠，一系

5、列新的数学分支在18世纪成长起来。如，常微分方程、偏微分方程、变分法3个分支的形成。微积分对弦振动等力学问题的应用引导一门新的数学分支，偏微分方程的建立。包含未知函数以及偏导数的等式称为偏微分方程。偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。一阶偏微分方程的解法。1722年拉格朗日（法，1736-1813）和1819年柯西（法，1798-1857年）发现将其转化为一阶常微分方程组。二阶偏微分方程的突破口是弦振动方程。给定一个拉紧的均匀柔软的弦，两端固定在轴的某两点上，考察该弦在平衡位置附近的微小横振动。弦上个点的运动可以

6、横向位移表示，则。这个方程称为弦振动方程，或一维的波动方程。1715年和1727年泰勒和约翰.伯努利分别提出了建立弦振动方程的问题。1747年达朗贝尔（1717-1783）发表《弦振动研究》和1749年欧拉都导出了弦振动方程并求出解，成为偏微分方程研究的开端。1753年丹尼尔.伯努利的论文（1755年发表）在假定所有可能的初始曲线均可表为正弦级数的前提下，导出了具有正弦周期模式的解。欧拉在1759年的论文（1766年发表）中将弦振动方程作了推广，讨论了二维鼓膜的振动和声波的三维传播，分别得到了二维和三维的波动方程，获得了解的初步性质。波动方程现称为双曲型偏微分方程。另一重要类型的二

7、阶偏微分方程是位势方程，是1752年欧拉在研究流体力学时提出的。欧拉证明了对流体内任一点的速度分量,,，一定存在函数（速度势）满足22，这就是位势方程。在热传导过程中，当热运动达到平衡状态时，温度u也满足上述方程，所以它也称为调和方程。1785年拉普拉斯（法，1749-1827年）用球调和函数求解，稍后又给出了这方程的直角坐标形式。现在称这方程为拉普拉斯方程，这属于椭圆形偏微分方程。对二阶偏微分方程的求解构成19世纪数学家和物理学家关注的中心问题之一[1-4]。1.1