（江苏专用）2019高考数学二轮复习 专题五 第1讲 基本初等函数、函数的图象与性质学案 理

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1、第1讲　基本初等函数、函数的图象与性质高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点.真题感悟1.(2018·江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________.解析　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).答案　[2，＋∞)2.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(

2、x)＝则f(f(15))的值为________.解析　因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos＝.答案　3.(2017·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________.解析　由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且xZ时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lgx∈Q，则由lgx∈(0，1)，可设lgx＝，m，n∈

3、N*，m≥2且m，n互质.因此10＝，10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lgxQ，因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lgx与每个周期xD部分交点，画出函数草图如图.图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD部分，且x＝1处(lgx)′＝，因<1，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个.答案　84.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝

4、lnx

5、，g(x)＝则方程

6、f(x)＋g(x)

7、＝1实根的个数为________.解析　令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝

8、＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝

9、h(x)

10、和y＝1的图象如图所示.由图象可知

11、f(x)＋g(x)

12、＝1的实根个数为4.答案　4考点整合1.基本初等函数(1)幂函数的概念及y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝及y＝x的图象及性质；(2)有理数指数幂、对数的含义及运算；指数函数、对数函数的概念、图象与性质.2.函数的性质(1)单调性(ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性.(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.(2)奇偶

13、性①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性.(3)周期性常见结论有①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2

14、a

15、的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4

16、a

17、的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2

18、a

19、的周

20、期函数.3.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.4.函数的零点问题(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.热点一　基本初等函数的概念及运算【例1】(1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数f(x)＝的

21、定义域为________.(2)(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.解析　(1)由题意得－2≥0，即≥0，从而0＜lgx≤，故1＜x≤，从而函数f(x)的定义域为(1，].(2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1