江苏专用2020版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入1第1讲平面向量的概念与线性运算刷好题练能力文

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1、第1讲平面向量的概念与线性运算1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是________个．解析：a＋(－a)＝0，故③错．答案：42．(2019·盐城模拟)给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a

2、＝b.答案：①②④3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________．　解析：因为＝－＝a－b，又＝3，所以＝＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.答案：a＋b4．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；＝＋＝a＋b，故②正确；＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.所以正确命题为②③④.答案：35．若

3、

4、＝

5、

6、＝

7、－

8、＝2，则

9、＋

10、＝________

11、．解析：因为

12、

13、＝

14、

15、＝

16、－

17、＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以

18、＋

19、为△ABC的边BC上的高的2倍，所以

20、＋

21、＝2.答案：26．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足

22、－

23、＝

24、＋－2

25、，则△ABC的形状为________．解析：根据题意有

26、－

27、＝

28、－＋－

29、，即

30、＋

31、＝

32、－

33、，从而得到⊥，所以三角形为直角三角形．答案：直角三角形8．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)

34、三向量的终点在同一直线上，则t＝________．解析：因为a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．所以a－tb与a－(a＋b)共线．即a－tb与a－b共线．所以存在实数λ，使a－tb＝λ，所以解得λ＝，t＝，即t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．答案：9．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．解析：由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，所以2＋4＝3，即4＝5.所以＝，P点在边AC上，且＝，设△ABC中，AC边上的高为h，则＝＝＝.答案：10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B

35、＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ(0≤λ≤1)．因为＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.答案：11．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i－2j.因为点A，B，C在同一条直线上，所以∥，从而存在实数λ使得＝λ.即(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[

36、(5－n)i－2j]．所以解得或12．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，所以－＝m(－)，即＝m，所以与共线．又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．又＝m＋n，故有m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.因为O，A，B不共线，所以，不共线，所以所以m＋n＝1.