江苏专用2020版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入3第3讲平面向量的数量积及应用举例刷好题练能力文.doc

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2019·无锡质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(5，－3)，则a·b的值为________．解析：因为a·b＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7.答案：72．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________．解析：由题意知

2、a

3、＝

4、b

5、＝

6、c

7、＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.答案：－3．已知

8、a

9、＝3，

10、b

11、＝4，且a与b不共线，若向

12、量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________．解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即

13、a

14、2－k2

15、b

16、2＝0.又因为

17、a

18、＝3，

19、b

20、＝4，所以k2＝，即k＝±.答案：±4．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为边BC上一点．若·＝5，·＝－，则·的值为________．解析：因为D为BC边上一点，所以可设＝x＋y，x＋y＝1，x>0，y>0　①，则·＝·(x＋y)＝9x＋y·＝5　②，·＝·(x＋y)＝x·＋4

21、y＝－　③，联立①②③，可得·＝－3或，当·＝时不满足x，y>0，舍去，故·＝－3.答案：－35．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.解析：由题意得：＝⇒＝⇒＝⇒m＝2.答案：26．(2019·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________．解析：由·＋2·＝·，得2bc×＋ac×＝ab×，化简可得a＝c.由正弦定理得＝＝.答案：7．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD

22、中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．解析：(＋)·(＋)＝(－＋)·(－＋)＝(＋)·(－)＝－＝5，即AC2－BD2＝5.因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3.答案：38．(2019·徐州月考)平面向量a，b满足

23、a

24、＝2，

25、a＋b

26、＝4，且向量a与向量a＋b的夹角为，则

27、b

28、为________．解析：因为向量a与向量a＋b的夹角为，所以cos＝＝＝，解得a·b＝0，即a⊥b.所以

29、a

30、2＋

31、b

32、2＝

33、a

34、＋b

35、2，从而解得，

36、b

37、＝2.答案：29．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则·＝________．解析：取BC边的中点D，连结AD，则·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(62－102)＝－32.答案：－3210.(2019·南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则·的最大值为________．解析：

38、以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，A，当在方向上的投影最大时，·最大．C，D两点位于图中的“晶格点”处，由蜂巢结构图的对称性，取C(0，5)，当D的坐标为(－，0)时，·最大，此时·＝·(－，－5)＝24.答案：2411.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x＋y.(1)如果＝2，求x，y的值；(2)如果＝3，

39、

40、＝4，

41、

42、＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．解：(1)由＝2，所以－＝2(－＋)，即3＝2＋，所以x＝，y＝.(2)

43、＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝－，所以·＝·(－)＝－2＋2＋·＝－9.12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．解：(1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.

44、所以a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)，所以S＝absinC＝×4×sin＝.1．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，所以λ的取值范围是∪∪.答案：∪∪2．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分