江苏专用2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率-导数学案苏教版选修

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1、3.1.2　瞬时变化率—导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点)　2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)[自主预习·探新知]1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t)．3．瞬时加速度运动物体的速度v(

2、t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t)．4．导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．5．导函数若函数y＝f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．6．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0

3、，f(x0))处的切线的斜率．[基础自测]1．判断正误：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)(3)在导数的定义中，＞0.(　　)【解析】　(1)√.Δx是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在x＝x0处的导数与它的正负无关．(2)×.Δy可以为0，如常数函数．(3)×.也可能是负数或0.【答案】　(1)√　(2)×　(3)×2．函数f(x)＝x2在点(1,1)处切线的斜率是________．【解析】　k＝＝2＋Δx，当Δx→0时，k→2

4、，故所求的切线的斜率是2.【答案】　23．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则汽车在t＝3秒时加速度为__________．【解析】　＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，故汽车的加速度为6.【答案】　6[合作探究·攻重难]求瞬时速度与瞬时加速度　(1)一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在ts时的速度为v(t)＝t2＋1，求汽车在t＝1s时的加速度.【导学号：95902184】[思路探究]　(1)→→→→.(2)→

5、→→→【自主解答】　(1)设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，＝8＋2Δt，当Δt→0时，→8，所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8m/s.(2)设这辆车在t＝1附近的时间变化量为Δt，则速度的增量Δv＝[(1＋Δt)2＋1]－(12＋1)＝(Δt)2＋2Δt，＝Δt＋2，当Δt→0时，→2，所以汽车在t＝1s时的加速度为2.[规律方法]　(1)求瞬时速度的步骤：①求位移增量Δs＝S(t0＋Δt)－S(t0)；②求平均速率＝；③求瞬时速度：

6、当Δt趋近于0时，趋近于v.(2)求瞬时加速度的步骤：①求平均加速度；②令Δt→0，求瞬时加速度.[跟踪训练]1．若一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝__________时的瞬时速度为1.【解析】　因为＝＝7Δt＋14t0，所以当Δt→0时，趋近于14t0，即14t0＝1，t0＝.【答案】　求函数在某一点处的导数　求函数y＝x＋在x＝1处的导数.【导学号：95902185】[思路探究]　方法一：先求Δy，再求出，令Δx→0，可求f′(1)，先求出f′(x)，再求出f′(x)在x＝1处的值．方法二：先求出，当Δx无限

7、趋于0时，即可求出f′(x)在x＝1处的值．【自主解答】　方法一：∵Δy＝(1＋Δx)＋－＝Δx－1＋＝＝，∴＝，当Δx→0时，→0，∴f′(1)＝0.方法二：＝＝＝1－，当Δx无限趋于0时，1－无限趋近于1－，即f′(x)＝1－，故f′(1)＝0.函数y＝x＋在x＝1处的导数为1－＝0.[规律方法]　由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)求当Δx→0时，的值，即f′(x0).[跟踪训练]2．根据导数的定义求下

8、列函数的导数：(1)求y＝x2在x＝1处的导数；(2)求y＝x2＋＋5在点P处的导数．【解】　(1)∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx，当Δx无限趋近于0时，＝2＋Δx无限趋近于2，所以f′(1)＝2.(2)∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2－