2018年高中数学第1章统计案例1.2回归分析学案苏教版选修

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1、1.2回归分析1．线性回归模型(1)线性回归模型y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．(2)随机误差产生的原因主要有以下几种：①所用的确定性函数不恰当引起误差；②忽略了某种因素的影响；③存在观测误差．(3)在线性回归方程＝＋x中＝＝，＝－(其中＝i，＝i)．其中，，分别为a，b的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．2．相关系数(1)计算两个随机变量间线性相关系数的公式＝(2)r具有如下性质：①

2、r

3、≤1；②

4、r

5、越接近于1，x，y的线性相关程度越强；③

6、r

7、越接近于0，x，y的线性

8、相关程度越弱．3．对相关系数进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录1中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r；(4)作出统计推断：若

9、r

10、>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若

11、r

12、≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．我们把相关

13、关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式＝＋x就是回归直线方程．求回归直线方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可以利用计算器计算出，再由＝－求出，写出回归直线方程＝x＋.计算时应注意：(1)求时，利用公式＝，先求出＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)，iyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，＝x＋x＋…＋x.再由＝－求出的值，并写出回归直线方程．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计而来的，

14、存在着误差，这种误差可能导致估计结果的偏差．(3)回归直线方程＝＋x中的表示x增加1个单位时，的变化量为，而表示不随x的变化而变化的部分．(4)可以利用回归直线方程＝＋x求在x取某一个值时y的估计值．[例1]　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由数据可知，y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[思路点拨]　由于题目条件已经指明y对x呈线性相关关系，所以可直接利用公式求与，然后

15、求出线性回归方程，最后把10代入，估计维修费用．[精解详析]　(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536经计算得：＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3，于是＝＝1.23，＝－·＝0.08，所以线性回归方程为＝x＋＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．[一点通]　若题目中没有指明y对x呈线性相关关系，而只给出资料

16、，则需根据散点图或利用线性相关系数先确定变量是否线性相关，再求线性回归方程．1．(辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2542．(湖北

17、高考改编)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是________．解析：由回归直线方程＝x＋，知当＞0时，x与y正相关，当＜0时，x与y负相关，所以①④一定错误．答案：①④3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售

18、额y(万元)49263954根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为________万元．解析：∵＝＝，＝＝42.又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．答案：65.54．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该