山东省沂水县高考数学一轮复习 函数系列之导数的应用——单调性与极值学案

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1、单调性与极值1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利

2、用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。【高考要求】B级【基础过关】1．函数的单调性⑴函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为；若＜0，则为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有，则.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的；②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点（即的无定义点）

3、的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小开区间内的，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程＝0的；③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得.3

4、．函数的最大值与最小值：⑴设y＝是定义在区间[a,b]上的函数，y＝在(a,b)内有导数，则函数y＝在[a,b]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：①求y＝在(a,b)内的值；②将y＝的各值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝在[a,b]上单调递增，则为函数的，为函数的；若函数y＝在[a,b]上单调递减，则为函数的，为函数的.【典型例题】例1.已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单

5、调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a

6、≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-

7、ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1

8、∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明∵f(-1)=a-2