2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课下层级训练45 椭圆的概念及其性质（含解析）文 新人教A版

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1、课下层级训练(四十五)　椭圆的概念及其性质[A级　基础强化训练]1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A．＋＝1　　　　　B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1A　[由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.]2．(2018·广东惠州调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不

2、必要条件C　[把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．]3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，

3、OM

4、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．5A　[由题意知

5、OM

6、＝

7、PF2

8、＝3，∴

9、PF2

10、＝6，∴

11、PF1

12、＝2a－

13、PF2

14、＝10－6＝4.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2B．

15、3C．6D．8C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)A．B．C．D．A　[∵圆O与直线BF相切，∴

16、圆O的半径为，即

17、OC

18、＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3＝0，又0b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为__________．(－5,0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的

19、点，则

20、PM

21、＋

22、PN

23、的最小值为__________．7　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且

24、PF1

25、＋

26、PF2

27、＝10，从而

28、PM

29、＋

30、PN

31、的最小值为

32、PF1

33、＋

34、PF2

35、－1－2＝7.]8．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)易知

36、yP

37、＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝

38、yP

39、

40、×2c＝×4×6＝12．9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0．∵m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝，得＝，∴m＝1．∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2．[B级　能力提升训练]10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若

41、PF1

42、＝4，

43、∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　)A．2B．3C．4D．5B　[b2＝2，c＝，故

44、F1F2

45、＝2，又

46、PF1

47、＝4，

48、PF1

49、＋

50、PF2

51、＝2a，

52、PF2

53、＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3.]11．(2019·山东临沂月考)过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是(　　)A．14B．16C．18D．20C　[如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知

54、F1Q

55、＝

56、PF2

57、，

58、OP

59、＝

60、OQ

61、，所以△PQF1的

62、周长为

63、PF1

64、＋

65、F1Q

66、＋

67、PQ

68、＝

69、PF1

70、＋

71、PF2

72、＋2

73、PO

74、＝2a＋2

75、PO

76、＝10＋2

77、PO

78、，易知2

79、OP

80、的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝1