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《2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课下层级训练48 抛物线（含解析）文 新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课下层级训练(四十八) 抛物线[A级 基础强化训练]1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2D [分两类a>0，a<0，可得y＝x2或y＝－x2.]2．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，
2、AB
3、＝16，则AB中点C的横坐标是( )A．3 B．4 C．6 D．8C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
4、AB
5、＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所
6、以点C的横坐标是＝6.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )A．B．1C．D．2D [∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.]4．(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为( )A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝2yD．x2＝yC [由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p
7、)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.]5．(2018·山东潍坊二模)直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是( )A．B．C．1D．B [分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AF＝AM，BF＝BN.设直线y＝(x＋2)(k＞0)与x轴交于点P，则P(－2,0)．∵抛物线的方程为y2＝8x，∴抛物线的准线方程为x＝－2，即点P在准线上．∵sin∠ABF＝2sin∠BAF，∴根据正弦定理可得AF＝2BF，∴AM＝2
8、BN，∴＝＝，即B为PA的中点．联立方程组消去x可得y2－＋16＝0．设A，B，则y1y2＝16．∵B为PA的中点，∴y1＝2y2，即B(1,2)．∵P(－2,0)，∴直线AB的斜率为.]6．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是__________．x2＝8y [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
9、AB
10、＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x2＝8y.]7．(2018·四川南充三模)已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax的焦
11、点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则a＝__________．±8 [焦点坐标，
12、OF
13、＝，直线的点斜式方程y＝2在y轴的截距是－，所以S△OAF＝××＝4，解得a2＝64，∵a>0，∴a＝8，∴y2＝8x，故答案为±8.]8．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．2 [方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为
14、F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，则
15、MM′
16、＝
17、AB
18、＝(
19、AF
20、＋
21、BF
22、)＝(
23、AA′
24、＋
25、BB′
26、)．∵M′(x0，y0)为AB中点，∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，∴y1＋y2＝2，∴k＝2．方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝．由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)．由∠AMB＝90
27、°，得·＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0．又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，整理得－＋1＝0，解得k＝2.]9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的
28、坐标．解 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B
