2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课下层级训练48 抛物线(含解析)文 新人教A版

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1、课下层级训练(四十八) 抛物线[A级 基础强化训练]1.点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(  )A.y=12x2      B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=x2或y=-x2D [分两类a>0,a<0,可得y=x2或y=-x2.]2.已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦,

2、AB

3、=16,则AB中点C的横坐标是(  )A.3    B.4    C.6    D.8C [设A(x1,y1),B(x2,y2),则

4、AB

5、=x1+x2+p=16,又p=4,所以x1+x2=12,所

6、以点C的横坐标是=6.]3.(2016·全国卷Ⅰ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(  )A.B.1C.D.2D [∵y2=4x,∴F(1,0).又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0)得k=2.]4.(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为(  )A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=yC [由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p

7、),则=4,得p=1(舍去负值),故抛物线C的方程为x2=2y.]5.(2018·山东潍坊二模)直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为C的焦点,若sin∠ABF=2sin∠BAF,则k的值是(  )A.B.C.1D.B [分别过A,B项抛物线的准线作垂线,垂足分别为M,N,则AF=AM,BF=BN.设直线y=(x+2)(k>0)与x轴交于点P,则P(-2,0).∵抛物线的方程为y2=8x,∴抛物线的准线方程为x=-2,即点P在准线上.∵sin∠ABF=2sin∠BAF,∴根据正弦定理可得AF=2BF,∴AM=2

8、BN,∴==,即B为PA的中点.联立方程组消去x可得y2-+16=0.设A,B,则y1y2=16.∵B为PA的中点,∴y1=2y2,即B(1,2).∵P(-2,0),∴直线AB的斜率为.]6.直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是__________.x2=8y [设A(x1,y1),B(x2,y2),则

9、AB

10、=y1+y2+p=2+p=6,∴p=4.即抛物线方程为x2=8y.]7.(2018·四川南充三模)已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦

11、点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则a=__________.±8 [焦点坐标,

12、OF

13、=,直线的点斜式方程y=2在y轴的截距是-,所以S△OAF=××=4,解得a2=64,∵a>0,∴a=8,∴y2=8x,故答案为±8.]8.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.2 [方法一 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则∴y-y=4(x1-x2),∴k==设AB中点M′(x0,y0),抛物线的焦点为

14、F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A′,B′,则

15、MM′

16、=

17、AB

18、=(

19、AF

20、+

21、BF

22、)=(

23、AA′

24、+

25、BB′

26、).∵M′(x0,y0)为AB中点,∴M为A′B′的中点,∴MM′平行于x轴,∴y1+y2=2,∴k=2.方法二 由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=.由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2).由∠AMB=90

27、°,得·=0,∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),∴1++1+k2-k+1=0,整理得-+1=0,解得k=2.]9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的

28、坐标.解 (1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B

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