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《高考数学复习第八章解析几何课下层级训练45椭圆的概念及其性质文新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课下层级训练(四十五) 椭圆的概念及其性质[A级 基础强化训练]1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A．＋＝1 B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1A [由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.]2．(2018·广东惠州调研)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C [把椭圆方程化成＋＝1.若
2、m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0即有m＞n＞0.故为充要条件．]3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，
3、OM
4、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A．4 B．3 C．2 D．5A [由题意知
5、OM
6、＝
7、PF2
8、＝3，∴
9、PF2
10、＝6，∴
11、PF1
12、＝2a－
13、PF2
14、＝10－6＝4.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2B．3C．6D．8C [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，
15、则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．A [∵圆O与直线BF相切，∴圆O的半径为，即
16、OC
17、＝，∵四边形FAMN是平行四边形，∴点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴5e2＋2e－3
18、＝0，又0b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为__________．(－5,0) [∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则
19、PM
20、＋
21、PN
22、的最小值为__________．7 [由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且
23、PF1
24、＋
25、PF2
26、＝10，从而
27、P
28、M
29、＋
30、PN
31、的最小值为
32、PF1
33、＋
34、PF2
35、－1－2＝7.]8．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1．(2)易知
36、yP
37、＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝
38、yP
39、×2c＝×4×6＝12．9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0．∵m－＝>0，∴m>
40、，∴a2＝m，b2＝，c＝＝．由e＝，得＝，∴m＝1．∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝．∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2．[B级 能力提升训练]10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若
41、PF1
42、＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )A．2B．3C．4D．5B [b2＝2，c＝，故
43、F1F2
44、＝2，又
45、PF1
46、＝4，
47、PF1
48、＋
49、PF2
50、＝2a，
51、PF2
52、＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24
53、，即a＝3.]11．(2019·山东临沂月考)过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )A．14B．16C．18D．20C [如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知
54、F1Q
55、＝
56、PF2
57、，
58、OP
59、＝
60、OQ
61、，所以△PQF1的周长为
62、PF1
63、＋
64、F1Q
65、＋
66、PQ
67、＝
68、PF1
69、＋
70、PF2
71、＋2
72、PO
73、＝2a＋2
74、PO
75、＝10＋2
76、PO
77、，易知2
78、OP
79、的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝1
