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时间:2019-11-17
《2019高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 第二讲 选考4-5 不等式选讲 学案 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二讲 不等式选讲考点一 含绝对值不等式的解法1.
2、ax+b
3、≤c,
4、ax+b
5、≥c型不等式的解法(1)若c>0,则
6、ax+b
7、≤c⇔-c≤ax+b≤c,
8、ax+b
9、≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可;(2)若c<0,则
10、ax+b
11、≤c的解集为∅,
12、ax+b
13、≥c的解集为R.2.
14、x-a
15、+
16、x-b
17、≥c,
18、x-a
19、+
20、x-b
21、≤c(c>0)型不等式的解法(1)零点分段讨论法.(2)绝对值的几何意义.(3)数形结合法.[解] (1)当a=1时,f(x)=
22、x+1
23、-
24、x-1
25、,
26、即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时
27、x+1
28、-
29、ax-1
30、>x成立等价于当x∈(0,1)时
31、ax-1
32、<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时
33、ax-1
34、≥1;若a>0时,则
35、ax-1
36、<1的解集为.所以≥1,故037、集.[对点训练](2018·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=38、2x-a39、+40、2x-141、(a∈R).(1)当a=-1时,求f(x)≤2的解集.(2)若f(x)≤42、2x+143、的解集包含集合,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=-1时,f(x)=44、2x+145、+46、2x-147、,由f(x)≤2得+≤1.上述不等式化为数轴上点x到两点-,的距离之和小于等于1,则-≤x≤,即原不等式的解集为.(2)∵f(x)≤48、2x+149、的解集包含,∴当x∈时,不等式f(x)≤50、2x+151、恒成立,∴52、2x-a53、+2x-1≤2x+1,即54、55、2x-a56、≤2,∴2x-2≤a≤2x+2在x∈上恒成立,∴(2x-2)max≤a≤(2x+2)min,∴0≤a≤3.考点二 含绝对值不等式的综合问题1.定理1:如果a,b是实数,则57、a+b58、≤59、a60、+61、b62、,当且仅当ab≥0时,等号成立.2.定理2:如果a,b,c是实数,那么63、a-c64、≤65、a-b66、+67、b-c68、,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.[解] (1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x69、-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于70、x+a71、+72、x-273、≥4.而74、x+a75、+76、x77、-278、≥79、a+280、,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于81、a+282、≥4.由83、a+284、≥4可得a≤-6或a≥2.角度2:含绝对值不等式的恒成立问题[解] (1)由题意得,当a=2018时,f(x)=因为f(x)在[2018,+∞)上单调递增,所以f(x)的值域为[2018,+∞).(2)由g(x)=85、x+186、,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知87、x+188、+89、x-a90、>2恒成立,即(91、x+192、+93、x-a94、)min>2.而95、x+196、+97、x-a98、≥99、(x+1)-(x-a)100、=101、1+a102、,所以103、1+a104、105、>2,解得a>1或a<-3.绝对值恒成立问题应关注的3点(1)巧用“106、107、a108、-109、b110、111、≤112、a±b113、≤114、a115、+116、b117、”求最值.(2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)a有解⇔f(x)max>a.[对点训练]1.[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)=118、x+4119、.(1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,求a的值;(2)求不等式f(x)>1-x的解集.[解] (1)因为f(x)=120、x+4121、122、,所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=123、2x+a+4124、+125、2x-a+4126、≥127、2x+a+4-(2x-a+4)128、=129、2a130、,又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,∴131、2a132、=4,∴a=±2.(2)f(x)=133、x+4134、=∴不等式f(x)>1-x等价于解得x>-2或x<-10,故不等式f(x)>1-x的解集为{x135、x>-2或x<-10}.2.[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)=136、2x+1137、,g(x)=138、x139、+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(2)若存在x∈R,使140、得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得141、2x+1142、≥143、x144、,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪.(2)由f(x)≤g(x)得a≥145、2x+1146、-147、x148、,令h(x)=149、2x+1150、-151、x152、,则h(x)=故h(x)min=h=-,所以实数a的取值范围为a≥-.考点三 不等式的证明定理1:设a,b∈R,则a2+
37、集.[对点训练](2018·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=
38、2x-a
39、+
40、2x-1
41、(a∈R).(1)当a=-1时,求f(x)≤2的解集.(2)若f(x)≤
42、2x+1
43、的解集包含集合,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=-1时,f(x)=
44、2x+1
45、+
46、2x-1
47、,由f(x)≤2得+≤1.上述不等式化为数轴上点x到两点-,的距离之和小于等于1,则-≤x≤,即原不等式的解集为.(2)∵f(x)≤
48、2x+1
49、的解集包含,∴当x∈时,不等式f(x)≤
50、2x+1
51、恒成立,∴
52、2x-a
53、+2x-1≤2x+1,即
54、
55、2x-a
56、≤2,∴2x-2≤a≤2x+2在x∈上恒成立,∴(2x-2)max≤a≤(2x+2)min,∴0≤a≤3.考点二 含绝对值不等式的综合问题1.定理1:如果a,b是实数,则
57、a+b
58、≤
59、a
60、+
61、b
62、,当且仅当ab≥0时,等号成立.2.定理2:如果a,b,c是实数,那么
63、a-c
64、≤
65、a-b
66、+
67、b-c
68、,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.[解] (1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x
69、-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于
70、x+a
71、+
72、x-2
73、≥4.而
74、x+a
75、+
76、x
77、-2
78、≥
79、a+2
80、,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于
81、a+2
82、≥4.由
83、a+2
84、≥4可得a≤-6或a≥2.角度2:含绝对值不等式的恒成立问题[解] (1)由题意得,当a=2018时,f(x)=因为f(x)在[2018,+∞)上单调递增,所以f(x)的值域为[2018,+∞).(2)由g(x)=
85、x+1
86、,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知
87、x+1
88、+
89、x-a
90、>2恒成立,即(
91、x+1
92、+
93、x-a
94、)min>2.而
95、x+1
96、+
97、x-a
98、≥
99、(x+1)-(x-a)
100、=
101、1+a
102、,所以
103、1+a
104、
105、>2,解得a>1或a<-3.绝对值恒成立问题应关注的3点(1)巧用“
106、
107、a
108、-
109、b
110、
111、≤
112、a±b
113、≤
114、a
115、+
116、b
117、”求最值.(2)f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)a有解⇔f(x)max>a.[对点训练]1.[角度1](2018·山东淄博模拟)设函数f(x)=
118、x+4
119、.(1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,求a的值;(2)求不等式f(x)>1-x的解集.[解] (1)因为f(x)=
120、x+4
121、
122、,所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=
123、2x+a+4
124、+
125、2x-a+4
126、≥
127、2x+a+4-(2x-a+4)
128、=
129、2a
130、,又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,∴
131、2a
132、=4,∴a=±2.(2)f(x)=
133、x+4
134、=∴不等式f(x)>1-x等价于解得x>-2或x<-10,故不等式f(x)>1-x的解集为{x
135、x>-2或x<-10}.2.[角度2](2018·河南郑州二模)已知函数f(x)=
136、2x+1
137、,g(x)=
138、x
139、+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(2)若存在x∈R,使
140、得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.[解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得
141、2x+1
142、≥
143、x
144、,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪.(2)由f(x)≤g(x)得a≥
145、2x+1
146、-
147、x
148、,令h(x)=
149、2x+1
150、-
151、x
152、,则h(x)=故h(x)min=h=-,所以实数a的取值范围为a≥-.考点三 不等式的证明定理1:设a,b∈R,则a2+
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