2019高考数学二轮复习 专题八 选考4系列选讲 第一讲 选考4-4 坐标系与参数方程学案 理

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1、第一讲　坐标系与参数方程考点一　极坐标方程及应用1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则2．几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ.(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴：

2、ρsinθ＝b.[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知

3、OP

4、＝ρ，

5、OM

6、＝ρ1＝.由

7、OM

8、·

9、OP

10、＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知

11、OA

12、＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积S＝

13、OA

14、·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何

15、关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．[对点训练](2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.[解]　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2

16、)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，∴＋＝＝＝.考点二　参数方程及应用1．圆的参数方程以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．2．椭圆的参数方程椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．3．直线的参数方程(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．(2)若A，B为直线l上两点，其对

17、应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②

18、PM

19、＝

20、t0

21、＝；③

22、AB

23、＝

24、t2－t1

25、；④

26、PA

27、·

28、PB

29、＝

30、t1·t2

31、.角度1：参数方程与普通方程的互化[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－

32、16.综上，a＝8或a＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用[解]　(1)曲线C的普通方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的普通方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的普通方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程

33、化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．(3)直线参数方程为(α为倾斜角，t为参数)，其中

34、t

35、＝

36、PM

37、，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．[对点训练]1．[角度1]设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．[解]　(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的

38、圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经