2019届高考数学二轮复习专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程学案理

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1、第1讲　坐标系与参数方程高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tan

2、α，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k

3、x

4、＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2

5、)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.13(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝

6、0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y＝－

7、x

8、＋2.考点整合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的

9、方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；13(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1

10、)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).热点一　曲线的极坐标方程【例1】(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且

11、OM

12、·

13、OP

14、＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题设知

15、OP

16、＝ρ，

17、OM

18、

19、＝ρ1＝.由

20、OM

21、·

22、OP

23、＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).由题设知

24、OA

25、＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积13S＝

26、OA

27、·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入