全国通用版2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程学案理

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1、第1讲　坐标系与参数方程[考情考向分析]　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．热点一　极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则例1　(2018·佛山

2、模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cosθ.(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且

3、MP

4、，

5、OP

6、，

7、PN

8、成等比数列，求l的极坐标方程．解　(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝3，化简得x2＋y2－2ax＋a2－3＝0.又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ

9、，所以ρ2－2aρcosθ＋a2－3＝0.代入点，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去)．所以曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)由题意知，设直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，设点M，N，P，则ρ1<ρ3<ρ2.联立得ρ2－4ρcosα＋1＝0，所以ρ1＋ρ2＝4cosα，ρ1ρ2＝1.联立得ρ3＝cosα.因为

10、MP

11、，

12、OP

13、，

14、PN

15、成等比数列，所以ρ＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2.所以2cos2α＝4cos2α－1，解

16、得cosα＝(舍负)．经检验，满足O，M，P，N四点依次在同一条直线上，所以l的极坐标方程为θ＝±(ρ∈R)．思维升华　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练1　(2018·乌鲁木齐模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sinθ－ρcos2θ＝0.(1)求曲线C的直角坐标方程

17、；(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．解　(1)∵sinθ－ρcos2θ＝0，∴ρsinθ－ρ2cos2θ＝0，即y－x2＝0.即曲线C的直角坐标方程为y＝x2.(2)将代入y－x2＝0，得＋t－2＝0，即t＝0，从而交点坐标为(1，)，所以交点的一个极坐标为.热点二　参数方程与普通方程的互化1．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．2．圆的参数方程圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆＋＝

18、1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．例2　(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.综上，α的取值

19、范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．跟踪演练2　(2

20、018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是.(1)求直线l的普通方程；(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标．解　(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0.(2)点M的直角坐标是(－1，－)，过点M作直线l的垂线，垂足为M′，则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点．直线MM′的方程是y＋＝－(x＋1)，即y＝－x－－.由解得所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标