高考数学专题八选考4系列选讲第一讲选考4_4坐标系与参数方程学案理.doc

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1、第一讲 坐标系与参数方程考点一 极坐标方程及应用1.直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则2.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r.(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acosθ.(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asinθ.3.几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0.(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcosθ=a.(3)直线过M且平行于

2、极轴:ρsinθ=b.12[解] (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知

3、OP

4、=ρ,

5、OM

6、=ρ1=.由

7、OM

8、·

9、OP

10、=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知

11、OA

12、=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=

13、OA

14、·ρB·sin∠AOB=4cosα·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.解决极坐标问题应关注的两点12(1)用极坐标系解决问

15、题时要注意已知的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决.(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中,需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时,利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利.[对点训练](2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.[解] (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲

16、线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,∴+===.考点二 参数方程及应用1.圆的参数方程以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.2.椭圆的参数方程椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.3.直线的参数方程(1)经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.(

17、2)若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:①t0=;②

18、PM

19、=

20、t0

21、=;12③

22、AB

23、=

24、t2-t1

25、;④

26、PA

27、·

28、PB

29、=

30、t1·t2

31、.角度1:参数方程与普通方程的互化[解] (1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-

32、4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.角度2:直线参数方程中参数几何意义的应用12[解] (1)曲线C的普通方程为+=1.当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tan

33、α=-2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法.(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数,注意参数的几何意义及变化范围.(3)直线参数方程为(α为倾斜角,t为参数),其中

34、t

35、=

36、PM

37、,P(x,y)为动点,M(x0,y0)为定点,在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用.[对点训练]121.[角度1]设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.

38、[解] (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1

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