2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案文含解析

《2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案文含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数的热点问题【2019年高考考纲解读】利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1、(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，

2、所以a＝.从而f(x)＝ex－lnx－1，f′(x)＝ex－.当02时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明　当a≥时，f(x)≥－lnx－1.设g(x)＝－lnx－1(x∈(0，＋∞))，则g′(x)＝－.当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f(x)≥0.【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是

3、增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1

4、程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2、(2018·天津)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值；(3)若曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点，求d的取值范围．解　(1)由已知，可得f(x)＝x

5、(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，t2－)t2－(t2－，t

6、2＋)t2＋(t2＋，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6，函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6.(3)曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x－t2＋d)(x－t2)·(x－t2－d)＋(x－t2)＋6＝0有三个互异的实数解．令u＝x－t2，可得u3＋(1－d2)u＋6＝0.设函数g(x)＝x3＋(1－d2)x＋6，则曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－6有三个互异的公共点等价于函数y

7、＝g(x)有三个零点．g′(x)＝3x2＋(1－d2)．当d2≤1时，g′(x)≥0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意．当d2>1时，令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.可得g(x)在(－∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．所以g(x)的极大值为g(x1)＝g＝＋6>0.g(x)的极小值为g(x2)＝g＝－＋6.若g(x2)≥0，则由g(x)的单调性可知函数y＝g(x)至多有两个零点，不合题意．若g(x2)<0，即(d2－1)>27，也就是

8、d

9、>，此时

10、d

11、>x2，g(

12、d

13、)＝

14、

15、d

16、＋6>0，且－2

17、d

18、

19、d

20、)＝－6

21、d

22、3－2

23、d

24、＋6<－62＋6<0，从而由g(x)的单调性，可知函数y＝g(x)在区间(－2

25、d

26、，x1)，(x1，x2)，(x2，

27、d

28、)内各有一个零点，符合题意．所以d的