高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题热点难点突破(理科)含解析.docx

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1、导数的热点问题1.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下v3潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单10v位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜2水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．36v240v－(2)y′＝－2＝2，50v25v3令y′＝0，得v＝102，3当0

2、，3当v>102时，y′>0，函数单调递增，33∴当0e＋2－.e(1)【解析】由定义域为(0,1)∪(1

3、，＋∞)，21ax－a＋x＋1f′(x)＝－2＝2，xx－xx－2设h(x)＝x－(a＋2)x＋1，要使y＝f(x)在(e，＋∞)上有极值，2则x－(a＋2)x＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，2∴Δ＝(a＋2)－4>0，∴a>0或a<－4，①且至少有一根在区间(e，＋∞)上，又∵x1·x2＝1，∴只有一根在区间(e，＋∞)上，不妨设x2>e，1∴0e＋－2，②e1联立①②可得a>e＋－2.e1即实数a的取值范围是e＋－2，＋∞.e(2)证明由(1)知，当x∈(1，x2)时，f′(

4、x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上有最小值f(x2)，即?t∈(1，＋∞)，都有f(t)≥f(x2)，又当x∈(0，x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在(0,1)上有最大值f(x1)，即对?s∈(0,1)，都有f(s)≤f(x1)，又∵x1＋x2＝2＋a，x1x2＝1，1x1∈0，，x2∈(e，＋∞)，e∴f(t)－f(s)≥f(x2)－f(x1)aax1＝lnx2＋－lnx1－x2－1－1x2aa＝ln＋－x1x2－1x1－1

5、21(x>e)，＝lnx2＋x2－2x2211设k(x)＝lnx＋x－＝2lnx＋x－(x>e)，xx21则k′(x)＝＋1＋2>0(x>e)，xx∴k(x)在(e，＋∞)上单调递增，1∴k(x)>k(e)＝2＋e－，e1∴f(t)－f(s)>e＋2－.e23．已知函数f(x)＝(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)－x(a>0)．1(1)如图，设直线x＝－，y＝－x将坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y＝f(x)2的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；1x1＋x2(2)当a>时，求证：?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x

6、2，有f(x1)＋f(x2)<2f.221(1)【解析】函数f(x)的定义域为－，＋∞，2且当x＝0时，f(0)＝－a<0.又∵直线y＝－x恰好通过原点，∴函数y＝f(x)的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f(x)<－x，2即(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)－x<－x.x＋∵2x＋1>0，∴a>.2x＋1x＋1令h(x)＝x>－，2x＋122－x＋1则h′(x)＝2x>－.x＋21e－1∴当x∈－，时，h′(x)>0，h(x)单调递增；22e－1当x∈，＋∞时，h′(x)<0，h(x)单调递减．2e－11∴h(x)max＝h＝，2e1∴a的取值范围是，＋∞.e(2)证明∵

7、f′(x)＝2ln(2x＋1)－4a(2x＋1)＋1，设u(x)＝2ln(2x＋1)－4a(2x＋1)＋1，41则u′(x)＝－8ax>－，2x＋1241∵当x>0时，<4，当a>时，8a>4，2x＋124∴u′(x)＝－8a<0，2x＋1∴当x>0时，f′(x)为减函数，不妨设x2>x1>0，x＋x1令g(x)＝f(x)＋f(x1)－2f(x>x1)，2可得g(x1)＝0，x＋x1g′(x)＝f′(x)－f′，2x＋x1∵x>且f′(x)是(0，＋∞)上的减函数，2∴g′(x)