高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案(理科)含解析

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1、导数的热点问题【2019年高考考纲解读】导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.【题型示例】题型一、利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．2xxx成立．(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点x0，且2e＋4

2、e2≤f(x0)<.ln2114例1、已知函数f(x)＝ae－ae－xe(a≥0，e＝2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)≥0对于x∈R恒2xxx(2)证明当a＝1时，f(x)＝ef′(x)＝ex(2ex－x－2)．－e－xe，xx令h(x)＝2e－x－2，则h′(x)＝2e－1，∴当x∈(－∞，－ln2)时，h′(x)<0，h(x)在(－∞，－ln2)上为减函数；当x∈(－ln2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(－ln2，＋∞)上为增函数，∵h(－1)<0，h(－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x＝x0满足h(x0)＝0，

3、∵h(x)在(－∞，－ln2)上为减函数，∴当x∈(－∞，x0)时，h(x)>0，即f′(x)>0，f(x)在(－∞，x0)上为增函数，当x∈(x0，－ln2)时，h(x)<0，即f′(x)<0，f(x)在(x0，－ln2)上为减函数，当x∈(－ln2,0)时，h(x)h(0)＝0，即f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－ln2，＋∞)上只有一个极小值点0，综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0，且x0∈(－2

4、，－1)．00∵h(x)＝0，∴2ex0－x－2＝0，∴f(x)＝e2x0－ex0－xex0x0＋2＝2x0＋2－x0＋2x0(x＋1)＝－x∈(－2，－1)，2002204，0x2＋2x11∵当x∈(－2，－1)时，－1<，∴f(x0)<；444∵ln2e∈(－2，－1)，1ln21∴f(x0)≥fln2e＝2e＋4e2；ln211综上知2e＋4e2≤f(x0)<4.【方法技巧】用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①?x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对?x1，x2∈[

5、a，b]，且x10)，①当a≤0时，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0

6、，＋∞)上单调递减．②当a>0时，1则当x∈a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，1当x∈0，a时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；1当a>0时，f(x)在0，a上单调递减，在(1)证明令g(x)＝f(x)－2ax＋xeax－11a，＋∞上单调递增．ax－1＝xe－ax－lnx，ax－1ax－11则g′(x)＝e＋axe－a－xax－11ax＋xe－＝(ax＋1)eax－1－＝xx(x>0)，ax－1设r(x)＝xe－1(x>0)，则r′(x)＝(1＋ax)eax－1(x>

7、0)，∵eax－1>0，1∴当x∈0，－a时，r′(x)>0，r(x)单调递增；1当x∈－a，＋∞时，r′(x)<0，r(x)单调递减．111∴r(x)max＝r－a＝－ae2＋1≤0a≤－e2，11∴当0－a时，g′(x)>0，11∴g(x)在0，－a上单调递减，在－a，＋∞上单调递增，1∴g(x)min＝g－a，1设t＝－a∈1(0，e]，2t2则g－a＝h(t)＝e2－lnt＋1(0

8、x)≥0，故f(x)≥2ax－xeax－1.题型二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函