高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题教学案(文科)含解析

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1、导数的热点问题【2019年高考考纲解读】利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．【题型示例】题型一、利用导数证明不等式x用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1、(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；1(2)证明：当a≥e时，f(x)≥0.x1(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ae－.x1由题设知，f′(2

2、)＝0，所以a＝2e2.1x1x1从而f(x)＝2e2e－lnx－1，f′(x)＝2e2e－x.当02时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．x(2)证明a1f(x)elnx－1.当≥e时，≥e－xxee1x设g(x)＝e－lnx－1(x∈(0，＋∞))，则g′(x)＝e－.当01时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.1因此，当a≥e时，f(x)≥0.【方法技巧】用导

3、数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①?x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对?x1，x2∈[a，b]，且x1

4、方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.题型二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2、(2018·天津)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值；32(3)若曲线y＝f(x)与直线y＝－(

5、x－t2)－63有三个互异的公共点，求d的取值范围．解(1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x－x，故f′(x)＝3x－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)3＝(x－t2)－9(x－t2)3223＝x－3t2x＋(3t2－9)x－t2＋9t2.22故f′(x)＝3x－6t2x＋3t2－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3或x＝

6、t2＋3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，t2－3)t2－3(t2－3，t2＋3)t2＋3(t2＋3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63，3函数f(x)的极小值为f(t2＋3)＝(3)－9×3＝－63.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－63有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x－t2＋d)(x－t2)·(x－t2－d)＋(x－t2)＋63＝0有三个互异的实数解．32令u＝x－t2，可得u＋(1－d)

7、u＋63＝0.32设函数g(x)＝x＋(1－d)x＋63，则曲线y＝f(x)与直线y＝－(x－t2)－63有三个互异的公共点等价于函数y＝g(x)有三个零点．g′(x)＝3x2＋(1－d2)．22当d≤1时，g′(x)≥0，这时g(x)在R上单调递增，不合题意．当d>1时，令g′(x)＝0，解得xd221－1，x＝d－1＝－2.33可得g(x)在(－∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．所以g(x)的极大值为2d－13223d－2g(x1)＝g－＝3g(x)的极小值为9＋63>0.2d－

8、1323d2－2g(x2)＝g＝－39＋63.若g(x2)≥0，则由g(x)的单调性可知函数y＝g(x)至多有两个零点，不合题意．2若g(x2)<0，即(d－1)32>27，也就是

9、d

10、>10，此时

11、d

12、>x2，g(

13、d

14、)＝

15、