2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题05导数的热点问题（热点难点突破）文（含解析）.docx

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1、导数的热点问题1．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．(2)y′＝－＝，令y′＝0，得v＝10，当0

2、调递减，当v>10时，y′>0，函数单调递增，∴当00时，f(x)>g(x)．(1)解　因为f′(x)＝1－＝，①若a≤0，则f′(x)>0在定义域内

3、恒成立，∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则由f′(x)>0，解得x<－或x>，由f′(x)<0，解得－0)，h′(x)＝1－－＝(x>0)，设p(x)＝x2－x－a，则由a>0知，方程p(x)＝0的判别式Δ＝1＋4a>0，设p(x)＝0的正根为x0，∴x－x0－a＝0，∵p(1)＝1－1－a＝－a<0，∴x0>1，又p(0)＝－a<0，∴h(x)在(0，x0)上为减函数，在(x

4、0，＋∞)上为增函数，h(x)min＝h(x0)＝x0＋－lnx0－1＝x0＋－lnx0－1＝2x0－lnx0－2，令F(x)＝2x－lnx－2，F′(x)＝2－＝>0恒成立，∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，又∵F(1)＝2－0－2＝0，∴F(x)>0，即h(x)min>0，∴当x∈(0，＋∞)且a>0时，f(x)>g(x)．3．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x＋m(m∈R)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1

5、x1x2<1.(1)解　令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x－m(x>0)，则F′(x)＝－1＝(x>0)，当x>1时，F′(x)<0，当00，所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x＝1处取得最大值－1－m，若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1.(2)证明　由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1,0F，

6、由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝lnx1－x1，即证ln－－m＝ln－＋x1－lnx1<0，令h(x)＝－＋x－2lnx(00，故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)0得x>0，由f′(x)

7、<0得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(－2)＝4－>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，∴f(x)有两个零点．(2)证明　∵f′(x)＝ex＋2x，∵x＝0是f(x)的极值点，∴f′(0)＝a－1＝0，∴a＝1，∴f(x)＝(x－1)ex＋x2，故要证(x－1)ex≥ln(x－1)＋x＋1，令x－1＝t，t>0，即证tet＋1≥lnt＋t＋2(t>0)，设h(x)＝ex·ex－lnx－x－2(x>0)，即证h(x)≥0(x>0)，h′(x)＝e·ex(x＋1)－－1＝e(x

8、＋1)(x>0)，令u(x)＝ex－(x>0)，u′(x)＝ex＋>0，∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，又u(1)＝e－>0，u＝－e<0，故u(x)＝0有唯一的根x0∈(0,1)，＝，当0x0时，u(x)>0，h′(x)>0，∴h(x