2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题17 圆锥曲线教学案 理（含解析）

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1、圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、＝2a(2a>

6、F1F2

7、)．(2)双曲线：

8、

9、PF1

10、－

11、PF2

12、

13、＝2a(2a<

14、F1F2

15、)．(3)抛物线：

16、PF

17、＝

18、PM

19、，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所

20、在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．(2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m>0，n>0)．双曲线方程可设为－＝1(mn>0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于＋＝1和－＝1来说，抓住a、b、c间的关系是关键.【变式探究】(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数

21、m＝________.答案　2解析　由双曲线的标准方程知，a＝1，b2＝m，c＝，故双曲线的离心率e＝＝＝，∴1＋m＝3，解得m＝2.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　由y＝x，可得＝.①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为－＝1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆

22、C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋y2＝1答案　C解析　由△AF1B的周长为4，可知

23、AF1

24、＋

25、AF2

26、＋

27、BF1

28、＋

29、BF2

30、＝4a＝4，解得a＝，则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①又＋＝1，所以y＝b2，②由①②解得b2＝

31、2.所以C的方程为＋＝1.(2)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则

32、BM

33、－

34、AB

35、的最大值为(　　)A．1B．2C．－1D．8答案　A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知双曲线－＝1(a>0，

36、b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　D解析　∵点(3,4)在以

37、F1F2

38、为直径的圆上，∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝.②①②联立，解得a＝3且b＝4，可得双曲线的方程为－＝1.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若

39、BC

40、＝2

41、BF

42、，且

43、AF

44、＝3，则此抛物线方程为(　

45、　)A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x答案　C解析　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵＝

46、AF

47、＝3，＝3＋3a，

48、AC

49、＝2

50、AE

51、，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.题型二　圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

52、M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案　－1　2解析　方法一　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.由得x2＝.如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得

53、ED

54、＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－－2＝0，解得＝2－3.∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.∴