2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题17 圆锥曲线教学案 理(含解析)

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1、圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:

2、PF1

3、+

4、PF2

5、=2a(2a>

6、F1F2

7、).(2)双曲线:

8、

9、PF1

10、-

11、PF2

12、

13、=2a(2a<

14、F1F2

15、).(3)抛物线:

16、PF

17、=

18、PM

19、,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”所谓“定型”,就是确定曲线焦点所

20、在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.(2)待定系数法.①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为+=1(m>0,n>0).双曲线方程可设为-=1(mn>0).这样可以避免讨论和烦琐的计算.对于+=1和-=1来说,抓住a、b、c间的关系是关键.【变式探究】(2017·北京)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数

21、m=________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知,a=1,b2=m,c=,故双曲线的离心率e===,∴1+m=3,解得m=2.【变式探究】(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B解析 由y=x,可得=.①由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),可得a2+b2=9.②由①②可得a2=4,b2=5.所以C的方程为-=1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆

22、C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,左、右顶点为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则C的方程为(  )A.+=1B.+=1C.+=1D.+y2=1答案 C解析 由△AF1B的周长为4,可知

23、AF1

24、+

25、AF2

26、+

27、BF1

28、+

29、BF2

30、=4a=4,解得a=,则M,N(,0).设点A(x0,y0)(x0≠±),由直线AM与AN的斜率之积为-,可得·=-,即y=-(x-3),①又+=1,所以y=b2,②由①②解得b2=

31、2.所以C的方程为+=1.(2)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则

32、BM

33、-

34、AB

35、的最大值为(  )A.1B.2C.-1D.8答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.【变式探究】(1)已知双曲线-=1(a>0,

36、b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则双曲线的方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D解析 ∵点(3,4)在以

37、F1F2

38、为直径的圆上,∴c=5,可得a2+b2=25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上,∴=.②①②联立,解得a=3且b=4,可得双曲线的方程为-=1.(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若

39、BC

40、=2

41、BF

42、,且

43、AF

44、=3,则此抛物线方程为( 

45、 )A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=x答案 C解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线交x轴于点G.设=a,则由已知得=2a,由抛物线定义,得=a,故∠BCD=30°,在Rt△ACE中,∵=

46、AF

47、=3,=3+3a,

48、AC

49、=2

50、AE

51、,∴3+3a=6,从而得a=1,=3a=3.∴p===,因此抛物线方程为y2=3x,故选C.题型二 圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

52、M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.答案 -1 2解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y=±x,则=tan60°=,∴双曲线N的离心率e1满足e=1+=4,∴e1=2.由得x2=.如图,设D点的横坐标为x,由正六边形的性质得

53、ED

54、=2x=c,∴4x2=c2.∴=a2-b2,得3a4-6a2b2-b4=0,∴3--2=0,解得=2-3.∴椭圆M的离心率e2满足e=1-=4-2.∴

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