2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题17 圆锥曲线教学案 文（含解析）

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1、圆锥曲线【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、＝2a(2a>

6、F1F2

7、)．(2)双曲线：

8、

9、PF1

10、－

11、PF2

12、

13、＝2a(2a<

14、F1F2

15、)．(3)抛物线：

16、PF

17、＝

18、PM

19、，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，

20、p的值．二、圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．三、直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．【高考题型示例】题型一、圆锥曲线

21、的定义与标准方程例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1　B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.∴双曲线的方程为－＝1.故选C.①②联立，解得a＝3且b＝4，可得双曲线的方程为－＝1.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点

22、F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若

23、BC

24、＝2

25、BF

26、，且

27、AF

28、＝3，则此抛物线方程为(　　)A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x答案　C解析　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵＝

29、AF

30、＝3，＝3＋3a，

31、AC

32、＝2

33、AE

34、，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.题型二　圆锥曲线的几何性质例2、(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1

35、.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案　－1　2解析　方法一　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.由得x2＝.如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得

36、ED

37、＝2x＝c，∴4x2＝c2.∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－－2＝0，解得＝2－3.∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.∴e2＝－1.方法二　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan60°＝.又c1

38、＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则

39、FC

40、＝2c2＝2，即c2＝1.又E为椭圆M上一点，则

41、EF

42、＋

43、EC

44、＝2a，即1＋＝2a，∴a＝.∴椭圆M的离心率为＝＝－1.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·等于(　　)A．5B．6C．7D．8答案　D解析　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F(1,0)，∴＝(0,

45、2)，＝(3,4)．∴·＝0×3＋2×4＝8.故选D.【变式探究】(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则

46、MN

47、等于(　　)A.B．3C．2D．4答案　B解析　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两渐近线的夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，

48、OF

49、＝2，则

50、ON

51、＝.则