2019年高中数学 第5章 数系的扩充与复数 5.1-5.2 解方程与数系的扩充 复数的概念讲义（含解析）湘教版选修2-2

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1、5．1&5.2解方程与数系的扩充复数的概念[读教材·填要点]1．复数的概念(1)虚数单位：规定一个符号i代表一个数，满足条件i2＝－1，称这个i为虚数单位．(2)复数的定义：形如a＋bi(其中a，b是实数)的数称为复数，记作z＝a＋bi，其中a称为复数a＋bi的实部，记作Re_z，b称为a＋bi的虚部，记作Im_z.2．复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.[小问题·大思维]1．复数m＋ni的实部、虚部一定是m，n吗

2、？提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．2．两个复数能比较大小吗？若a＋bi>0，则a，b满足什么条件？提示：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)．当b＝0时，能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小．若a＋bi>0，则b＝0，a>0.3．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．复数的分类(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部

3、是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)A．0　　　　B．1　　　C．2　　　　D．3(2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数．[自主解答]　(1)选B　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.(2)①当即m≠5且m≠－3时，z是虚数．②当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是

4、根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面．1．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2－m－6)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝3或－2.即当m＝3或－2时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝－1.即当m＝－1时，z是纯虚数．复数相等的充要条件求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值．[自主解答]　由复数相等的充要条件得解得若将等式换为“(2x－1)＋i＝(3－y)i”呢

5、？解：由复数相等的充要条件得解得解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)．2．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值．解：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[巧思]　M∪P＝P，则M⊆P.故(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.[妙解]　∵M∪P＝P，∴M⊆P.又∵M＝{1，(m

6、2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}．∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1.或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，即或解得m＝1或m＝2.即实数m的值为1或2.1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)A．－2　　　　　　　　B．C．－D．2解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.答案：D2．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2018i＝2－bi，则a2＋bi＝(　　)A．2018＋2iB．2018＋4iC．2＋2018iD．4

7、－2018i解析：因为a＋2018i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2018，即a＝2，b＝－2018，所以a2＋bi＝4－2018i.答案：D3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)A．－1B．2C．1D．－1或2解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.答案：D4．复数(1＋)i的实部为________．解析：复数(1＋)i＝0＋(1＋)i.∴实部为0.答案：05．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数

8、单位，若z1＝z2，则m的值为________．解析：由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1.答案：－16．实数m为何值时，复数z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)若z为实数，则即解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实