2018年秋高中数学 课时分层作业15 反证法 新人教A版选修2-2

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1、课时分层作业(十五)　反证法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)【导学号：31062157】A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B　[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．

2、方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A　[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为(　　)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D　[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已

3、知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)A．一定是异面直线　　　B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C　[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2C　[若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．]二、填空题6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋

4、q，则

5、f(1)

6、，

7、f(2)

8、，

9、f(3)

10、中至少有一个不小于”时，假设内容是________.【导学号：31062158】[解析]　“

11、f(1)

12、，

13、f(2)

14、，

15、f(3)

16、中至少有一个不小于”的反面是“

17、f(1)

18、，

19、f(2)

20、，

21、f(3)

22、都小于”．[答案]　

23、f(1)

24、，

25、f(2)

26、，

27、f(3)

28、都小于7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．[解析]　反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.[答案]　x≠－1且x≠18．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，

29、7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．[解析]　由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．[答案]　a1－1，a2－2，…，a7－7　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)　(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)三、解答

30、题9.已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.【导学号：31062159】[证明]　假设，都不小于2，即≥2，≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴，中至少有一个小于2.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[解]　假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与

31、an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．所以f(x)＝0无整数根．[能力提升练]1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，(　　)【导学号：31062160】A．不能同时大于B．都大于C．至少一个大于D．至多有一个大于A　[法一：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.＞＞＝，同理＞，＞.三式相加，得＋＋＞，即＞，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能