2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2

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1、第二章推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1（n＞1），当n＝2时，中间式子等于（　　）A.1　　　　　　　　　　　B.1＋C.1＋＋D.1＋＋＋解析：选D.n＝2时中间式子的最后一项为，所以中间式子为1＋＋＋.2.用反证法证明命题：“若函数f（x）＝x2＋px＋q，那么

2、f（1）

3、，

4、f（2）

5、，

6、f（3）

7、中至少有一个不小于”时，反设正确的是（　　）A.假设

8、f（1）

9、，

10、f（2）

11、，

12、f（3）

13、都不小于

14、B.假设

15、f（1）

16、，

17、f（2）

18、，

19、f（3）

20、都小于C.假设

21、f（1）

22、，

23、f（2）

24、，

25、f（3）

26、至多有两个小于D.假设

27、f（1）

28、，

29、f（2）

30、，

31、f（3）

32、至多有一个小于解析：选B.“

33、f（1）

34、，

35、f（2）

36、，

37、f（3）

38、中至少有一个不小于”的反设为“

39、f（1）

40、，

41、f（2）

42、，

43、f（3）

44、都小于”.3.设x＞0，则不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，推广到x＋≥n＋1，则a＝（　　）A.2nB.2nC.n2D.nn解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x的指数的指数次方，可得a＝nn.4.下面是一段“

45、三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）>0恒成立.因为f（x）＝x3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f′（x）＝3x2>0恒成立.以上推理中（　　）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f′（x）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是（　　）A.B.C.D.解析：选D.由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是

46、＝.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0B.a－c<0C.（a－b）（a－c）>0D.（a－b）（a－c）<0解析：选C.要证明0，即证（a－c）（2a＋c）>0，即证（a－c）（a－b）>0.7.若＝＝，则△ABC是（　　）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选

47、C.因为＝＝，由正弦定理得，＝＝，所以＝＝＝.所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以∠B＝∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形.8.已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，则f（a）＋f（b）＋f（c）的值一定（　　）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f（x）为奇函数，也是增函数，因此由a＋b＞0可得a＞－b，所以f（a）＞f（－b），即f（a）＞－f（b），于是f（a）＋f（b）＞0，同理，f（a）＋f（c）＞0，f（b）＋f（c）＞0，所以f（a）＋f（b）＋f

48、（c）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A（－1，0，0），B（1，0，0），则点集{P（x，y，z）

49、

50、PA

51、－

52、PB

53、＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（　　）A.以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A，B为焦点的椭球体C.以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P（x，y）

54、

55、PA

56、－

57、PB

58、＝1}是以A，B为焦点的双曲线的一支，点集{P（x，y，z）

59、

60、PA

61、－

62、PB

63、＝1

64、}在空间中的轨迹是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y＝t被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（　　）A.4B.C.5D.解析：选B.根据题

65、意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为＝.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），